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Calcolatrice delle radici di un numero complesso

Trovare le radici di un numero complesso, radici dell'unità passo dopo passo

La calcolatrice troverà le radici nn del numero complesso dato utilizzando la formula di de Moivre, con i passaggi indicati.

Se la calcolatrice non ha calcolato qualcosa, se avete individuato un errore o se avete un suggerimento/feedback, contattateci.

Il vostro contributo

Trova 81i4\sqrt[4]{81 i}.

Soluzione

La forma polare di 81i81 i è 81(cos⁡(π2)+isin⁡(π2))81 \left(\cos{\left(\frac{\pi}{2} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{2} \right)}\right) (per i passaggi, vedere calcolatrice della forma polare).

Secondo la Formula di De Moivre, tutte le radici nn di un numero complesso r(cos⁡(θ)+isin⁡(θ))r \left(\cos{\left(\theta \right)} + i \sin{\left(\theta \right)}\right) sono date da r1n(cos⁡(θ+2πkn)+isin⁡(θ+2πkn))r^{\frac{1}{n}} \left(\cos{\left(\frac{\theta + 2 \pi k}{n} \right)} + i \sin{\left(\frac{\theta + 2 \pi k}{n} \right)}\right), k=0..n−1‾k=\overline{0..n-1}.

Si ha che r=81r = 81, θ=π2\theta = \frac{\pi}{2}, e n=4n = 4.

  • k=0k = 0: 814(cos⁡(π2+2⋅π⋅04)+isin⁡(π2+2⋅π⋅04))=3(cos⁡(π8)+isin⁡(π8))=324+12+3i12−24\sqrt[4]{81} \left(\cos{\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\cdot \pi\cdot 0}{4} \right)} + i \sin{\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\cdot \pi\cdot 0}{4} \right)}\right) = 3 \left(\cos{\left(\frac{\pi}{8} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{8} \right)}\right) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + 3 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}
  • k=1k = 1: 814(cos⁡(π2+2⋅π⋅14)+isin⁡(π2+2⋅π⋅14))=3(cos⁡(5π8)+isin⁡(5π8))=−312−24+3i24+12\sqrt[4]{81} \left(\cos{\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\cdot \pi\cdot 1}{4} \right)} + i \sin{\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\cdot \pi\cdot 1}{4} \right)}\right) = 3 \left(\cos{\left(\frac{5 \pi}{8} \right)} + i \sin{\left(\frac{5 \pi}{8} \right)}\right) = - 3 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + 3 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}
  • k=2k = 2: 814(cos⁡(π2+2⋅π⋅24)+isin⁡(π2+2⋅π⋅24))=3(cos⁡(9π8)+isin⁡(9π8))=−324+12−3i12−24\sqrt[4]{81} \left(\cos{\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\cdot \pi\cdot 2}{4} \right)} + i \sin{\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\cdot \pi\cdot 2}{4} \right)}\right) = 3 \left(\cos{\left(\frac{9 \pi}{8} \right)} + i \sin{\left(\frac{9 \pi}{8} \right)}\right) = - 3 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - 3 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}
  • k=3k = 3: 814(cos⁡(π2+2⋅π⋅34)+isin⁡(π2+2⋅π⋅34))=3(cos⁡(13π8)+isin⁡(13π8))=312−24−3i24+12\sqrt[4]{81} \left(\cos{\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\cdot \pi\cdot 3}{4} \right)} + i \sin{\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\cdot \pi\cdot 3}{4} \right)}\right) = 3 \left(\cos{\left(\frac{13 \pi}{8} \right)} + i \sin{\left(\frac{13 \pi}{8} \right)}\right) = 3 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - 3 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}

Risposta

81i4=324+12+3i12−24≈2.77163859753386+1.148050297095269i\sqrt[4]{81 i} = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + 3 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\approx 2.77163859753386 + 1.148050297095269 iA

81i4=−312−24+3i24+12≈−1.148050297095269+2.77163859753386i\sqrt[4]{81 i} = - 3 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + 3 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\approx -1.148050297095269 + 2.77163859753386 iA

81i4=−324+12−3i12−24≈−2.77163859753386−1.148050297095269i\sqrt[4]{81 i} = - 3 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - 3 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\approx -2.77163859753386 - 1.148050297095269 iA

81i4=312−24−3i24+12≈1.148050297095269−2.77163859753386i\sqrt[4]{81 i} = 3 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - 3 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\approx 1.148050297095269 - 2.77163859753386 iA