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Calcolatrice della differenziazione logaritmica

Calcolare le derivate passo dopo passo utilizzando i logaritmi

La calcolatrice online calcola la derivata di qualsiasi funzione utilizzando la differenziazione logaritmica, con i passaggi indicati. Inoltre, valuterà la derivata nel punto indicato, se necessario.

Calcolatrice correlata: Calcolatore di derivate

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Il vostro contributo

Trova ddx(xsin⁡(x))\frac{d}{dx} \left(x^{\sin{\left(x \right)}}\right).

Soluzione

Sia H(x)=xsin⁡(x)H{\left(x \right)} = x^{\sin{\left(x \right)}}.

Prendiamo il logaritmo di entrambi i lati: ln⁡(H(x))=ln⁡(xsin⁡(x))\ln\left(H{\left(x \right)}\right) = \ln\left(x^{\sin{\left(x \right)}}\right).

Riscrivere l'RHS utilizzando le proprietà dei logaritmi: ln⁡(H(x))=ln⁡(x)sin⁡(x)\ln\left(H{\left(x \right)}\right) = \ln\left(x\right) \sin{\left(x \right)}.

Differenziare separatamente i due lati dell'equazione: ddx(ln⁡(H(x)))=ddx(ln⁡(x)sin⁡(x))\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right) \sin{\left(x \right)}\right).

Differenziare il lato sinistro dell'equazione.

La funzione ln⁡(H(x))\ln\left(H{\left(x \right)}\right) è la composizione f(g(x))f{\left(g{\left(x \right)} \right)} di due funzioni f(u)=ln⁡(u)f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right) e g(x)=H(x)g{\left(x \right)} = H{\left(x \right)}.

Applicare la regola della catena ddx(f(g(x)))=ddu(f(u))ddx(g(x))\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right):

(ddx(ln⁡(H(x))))=(ddu(ln⁡(u))ddx(H(x))){\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)\right)}

La derivata del logaritmo naturale è ddu(ln⁡(u))=1u\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}:

(ddu(ln⁡(u)))ddx(H(x))=(1u)ddx(H(x)){\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)

Ritorno alla vecchia variabile:

ddx(H(x))(u)=ddx(H(x))(H(x))\frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(H{\left(x \right)}\right)}}

Pertanto, ddx(ln⁡(H(x)))=ddx(H(x))H(x)\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{H{\left(x \right)}}.

Differenziare l'RHS dell'equazione.

Applicare la regola del prodotto ddx(f(x)g(x))=ddx(f(x))g(x)+f(x)ddx(g(x))\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right) con f(x)=ln⁡(x)f{\left(x \right)} = \ln\left(x\right) e g(x)=sin⁡(x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}:

(ddx(ln⁡(x)sin⁡(x)))=(ddx(ln⁡(x))sin⁡(x)+ln⁡(x)ddx(sin⁡(x))){\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right) \sin{\left(x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) \sin{\left(x \right)} + \ln\left(x\right) \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)\right)}

La derivata del seno è ddx(sin⁡(x))=cos⁡(x)\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right) = \cos{\left(x \right)}:

ln⁡(x)(ddx(sin⁡(x)))+sin⁡(x)ddx(ln⁡(x))=ln⁡(x)(cos⁡(x))+sin⁡(x)ddx(ln⁡(x))\ln\left(x\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)\right)} + \sin{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \ln\left(x\right) {\color{red}\left(\cos{\left(x \right)}\right)} + \sin{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)

La derivata del logaritmo naturale è ddx(ln⁡(x))=1x\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}:

ln⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(x)(ddx(ln⁡(x)))=ln⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(x)(1x)\ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)} = \ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{1}{x}\right)}

Pertanto, ddx(ln⁡(x)sin⁡(x))=ln⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(x)x\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right) \sin{\left(x \right)}\right) = \ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}.

Quindi, ddx(H(x))H(x)=ln⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(x)x\frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{H{\left(x \right)}} = \ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}.

Pertanto, ddx(H(x))=(ln⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(x)x)H(x)=xsin⁡(x)−1(xln⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(x)).\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right) = \left(\ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right) H{\left(x \right)} = x^{\sin{\left(x \right)} - 1} \left(x \ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right).

Risposta

ddx(xsin⁡(x))=xsin⁡(x)−1(xln⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(x))\frac{d}{dx} \left(x^{\sin{\left(x \right)}}\right) = x^{\sin{\left(x \right)} - 1} \left(x \ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)A

Nota correlata: Logarithmic Differentiation