Soluzione
Sia H(x)=xsin(x).
Prendiamo il logaritmo di entrambi i lati: ln(H(x))=ln(xsin(x)).
Riscrivere l'RHS utilizzando le proprietà dei logaritmi: ln(H(x))=ln(x)sin(x).
Differenziare separatamente i due lati dell'equazione: dxd(ln(H(x)))=dxd(ln(x)sin(x)).
Differenziare il lato sinistro dell'equazione.
La funzione ln(H(x)) è la composizione f(g(x)) di due funzioni f(u)=ln(u) e g(x)=H(x).
Applicare la regola della catena dxd(f(g(x)))=dud(f(u))dxd(g(x)):
(dxd(ln(H(x))))=(dud(ln(u))dxd(H(x)))La derivata del logaritmo naturale è dud(ln(u))=u1:
(dud(ln(u)))dxd(H(x))=(u1)dxd(H(x))Ritorno alla vecchia variabile:
(u)dxd(H(x))=(H(x))dxd(H(x))Pertanto, dxd(ln(H(x)))=H(x)dxd(H(x)).
Differenziare l'RHS dell'equazione.
Applicare la regola del prodotto dxd(f(x)g(x))=dxd(f(x))g(x)+f(x)dxd(g(x)) con f(x)=ln(x) e g(x)=sin(x):
(dxd(ln(x)sin(x)))=(dxd(ln(x))sin(x)+ln(x)dxd(sin(x)))La derivata del seno è dxd(sin(x))=cos(x):
ln(x)(dxd(sin(x)))+sin(x)dxd(ln(x))=ln(x)(cos(x))+sin(x)dxd(ln(x))La derivata del logaritmo naturale è dxd(ln(x))=x1:
ln(x)cos(x)+sin(x)(dxd(ln(x)))=ln(x)cos(x)+sin(x)(x1)Pertanto, dxd(ln(x)sin(x))=ln(x)cos(x)+xsin(x).
Quindi, H(x)dxd(H(x))=ln(x)cos(x)+xsin(x).
Pertanto, dxd(H(x))=(ln(x)cos(x)+xsin(x))H(x)=xsin(x)−1(xln(x)cos(x)+sin(x)).