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Area della superficie di una rivoluzione
Calcolare l'area di una superficie di rivoluzione passo dopo passo
La calcolatrice troverà l'area della superficie di rivoluzione (intorno all'asse dato) della curva esplicita, polare o parametrica sull'intervallo dato, con passi indicati.
Solution
Your input: find the area of the surface of revolution of $$$f\left(x\right)=x^{2}$$$ rotated about the x-axis on $$$\left[0,1\right]$$$
The surface area of the curve is given by $$$S = 2\pi \int_a^b f \left(x\right) \sqrt{\left(f'\left(x\right)\right)^2+1}d x$$$
First, find the derivative: $$$f '\left(x\right)=\left(x^{2}\right)'=2 x$$$ (steps can be seen here)
Finally, calculate the integral $$$S = \int_{0}^{1} 2 \pi x^{2} \sqrt{\left(2 x\right)^{2} + 1} d x=\int_{0}^{1} 2 \pi x^{2} \sqrt{4 x^{2} + 1} d x$$$
The calculations and the answer for the integral can be seen here.