Calcolatore dell'approssimazione del punto finale sinistro di una funzione

Approssimare un integrale (dato da una funzione) utilizzando gli estremi di sinistra passo dopo passo

Calcolatrice online per l'approssimazione dell'integrale definito utilizzando gli estremi di sinistra (somma di Riemann di sinistra), con passaggi illustrati.

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Approssimare l'integrale 04cos4(x)+2dx\int\limits_{0}^{4} \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}\, dx con n=5n = 5 utilizzando l'approssimazione dell'estremo sinistro.

Soluzione

La somma di Riemann sinistra (nota anche come approssimazione del punto finale sinistro) utilizza il punto finale sinistro di un sottointervallo per calcolare l'altezza del rettangolo approssimato:

abf(x)dxΔx(f(x0)+f(x1)+f(x2)++f(xn2)+f(xn1))\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{0} \right)} + f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-2} \right)} + f{\left(x_{n-1} \right)}\right)

dove Δx=ban\Delta x = \frac{b - a}{n}.

Si ha che f(x)=cos4(x)+2f{\left(x \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}, a=0a = 0, b=4b = 4, e n=5n = 5.

Pertanto, Δx=405=45\Delta x = \frac{4 - 0}{5} = \frac{4}{5}.

Dividere l'intervallo [0,4]\left[0, 4\right] in n=5n = 5 sottointervalli di lunghezza Δx=45\Delta x = \frac{4}{5} con i seguenti estremi: a=0a = 0, 45\frac{4}{5}, 85\frac{8}{5}, 125\frac{12}{5}, 165\frac{16}{5}, 4=b4 = b.

A questo punto, è sufficiente valutare la funzione ai punti estremi di sinistra dei sottointervalli.

f(x0)=f(0)=31.732050807568877f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = \sqrt{3}\approx 1.732050807568877

f(x1)=f(45)=cos4(45)+21.495196773630485f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(\frac{4}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{4}{5} \right)} + 2}\approx 1.495196773630485

f(x2)=f(85)=cos4(85)+21.414213819387789f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(\frac{8}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{8}{5} \right)} + 2}\approx 1.414213819387789

f(x3)=f(125)=cos4(125)+21.515144715776502f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(\frac{12}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{12}{5} \right)} + 2}\approx 1.515144715776502

f(x4)=f(165)=cos4(165)+21.730085700215823f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(\frac{16}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{16}{5} \right)} + 2}\approx 1.730085700215823

Infine, basta sommare i valori precedenti e moltiplicarli per Δx=45\Delta x = \frac{4}{5}: 45(1.732050807568877+1.495196773630485+1.414213819387789+1.515144715776502+1.730085700215823)=6.309353453263581.\frac{4}{5} \left(1.732050807568877 + 1.495196773630485 + 1.414213819387789 + 1.515144715776502 + 1.730085700215823\right) = 6.309353453263581.

Risposta

04cos4(x)+2dx6.309353453263581\int\limits_{0}^{4} \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}\, dx\approx 6.309353453263581A