Calcolo della regola del punto medio per una funzione

Approssimare l'integrale $\int\limits_{1}^{3} \sqrt{\sin^{4}{\left(x \right)} + 7}\, dx$ con $n = 4$ utilizzando la regola del punto medio.

La regola del punto medio (nota anche come approssimazione del punto medio) utilizza il punto medio di un sottointervallo per calcolare l'altezza del rettangolo approssimato:

$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(\frac{x_{0} + x_{1}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{2} + x_{3}}{2} \right)}+\dots+f{\left(\frac{x_{n-2} + x_{n-1}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{n-1} + x_{n}}{2} \right)}\right)$

dove $\Delta x = \frac{b - a}{n}$.

Si ha che $f{\left(x \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(x \right)} + 7}$, $a = 1$, $b = 3$, e $n = 4$.

Pertanto, $\Delta x = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$.

Dividere l'intervallo $\left[1, 3\right]$ in $n = 4$ sottointervalli di lunghezza $\Delta x = \frac{1}{2}$ con i seguenti estremi: $a = 1$, $\frac{3}{2}$, $2$, $\frac{5}{2}$, $3 = b$.

Ora è sufficiente valutare la funzione nei punti medi dei sottointervalli.

$f{\left(\frac{x_{0} + x_{1}}{2} \right)} = f{\left(\frac{1 + \frac{3}{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{5}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{5}{4} \right)} + 7}\approx 2.794821922941848$

$f{\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{\frac{3}{2} + 2}{2} \right)} = f{\left(\frac{7}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{7}{4} \right)} + 7}\approx 2.817350905627184$

$f{\left(\frac{x_{2} + x_{3}}{2} \right)} = f{\left(\frac{2 + \frac{5}{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{9}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{9}{4} \right)} + 7}\approx 2.714130913751178$

$f{\left(\frac{x_{3} + x_{4}}{2} \right)} = f{\left(\frac{\frac{5}{2} + 3}{2} \right)} = f{\left(\frac{11}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{11}{4} \right)} + 7}\approx 2.649758163512828$

Infine, basta sommare i valori precedenti e moltiplicarli per $\Delta x = \frac{1}{2}$: $\frac{1}{2} \left(2.794821922941848 + 2.817350905627184 + 2.714130913751178 + 2.649758163512828\right) = 5.488030952916519.$

$\int\limits_{1}^{3} \sqrt{\sin^{4}{\left(x \right)} + 7}\, dx\approx 5.488030952916519$A