Calcolo della regola del punto medio per una funzione

Approssimare un integrale (dato da una funzione) utilizzando la regola del punto medio, passo dopo passo.

Calcolatrice online per l'approssimazione dell'integrale definito utilizzando la regola del punto medio (coordinata media), con passaggi illustrati.

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Il vostro contributo

Approssimare l'integrale 13sin4(x)+7dx\int\limits_{1}^{3} \sqrt{\sin^{4}{\left(x \right)} + 7}\, dx con n=4n = 4 utilizzando la regola del punto medio.

Soluzione

La regola del punto medio (nota anche come approssimazione del punto medio) utilizza il punto medio di un sottointervallo per calcolare l'altezza del rettangolo approssimato:

abf(x)dxΔx(f(x0+x12)+f(x1+x22)+f(x2+x32)++f(xn2+xn12)+f(xn1+xn2))\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(\frac{x_{0} + x_{1}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{2} + x_{3}}{2} \right)}+\dots+f{\left(\frac{x_{n-2} + x_{n-1}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{n-1} + x_{n}}{2} \right)}\right)

dove Δx=ban\Delta x = \frac{b - a}{n}.

Si ha che f(x)=sin4(x)+7f{\left(x \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(x \right)} + 7}, a=1a = 1, b=3b = 3, e n=4n = 4.

Pertanto, Δx=314=12\Delta x = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}.

Dividere l'intervallo [1,3]\left[1, 3\right] in n=4n = 4 sottointervalli di lunghezza Δx=12\Delta x = \frac{1}{2} con i seguenti estremi: a=1a = 1, 32\frac{3}{2}, 22, 52\frac{5}{2}, 3=b3 = b.

Ora è sufficiente valutare la funzione nei punti medi dei sottointervalli.

f(x0+x12)=f(1+322)=f(54)=sin4(54)+72.794821922941848f{\left(\frac{x_{0} + x_{1}}{2} \right)} = f{\left(\frac{1 + \frac{3}{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{5}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{5}{4} \right)} + 7}\approx 2.794821922941848

f(x1+x22)=f(32+22)=f(74)=sin4(74)+72.817350905627184f{\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{\frac{3}{2} + 2}{2} \right)} = f{\left(\frac{7}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{7}{4} \right)} + 7}\approx 2.817350905627184

f(x2+x32)=f(2+522)=f(94)=sin4(94)+72.714130913751178f{\left(\frac{x_{2} + x_{3}}{2} \right)} = f{\left(\frac{2 + \frac{5}{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{9}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{9}{4} \right)} + 7}\approx 2.714130913751178

f(x3+x42)=f(52+32)=f(114)=sin4(114)+72.649758163512828f{\left(\frac{x_{3} + x_{4}}{2} \right)} = f{\left(\frac{\frac{5}{2} + 3}{2} \right)} = f{\left(\frac{11}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{11}{4} \right)} + 7}\approx 2.649758163512828

Infine, basta sommare i valori precedenti e moltiplicarli per Δx=12\Delta x = \frac{1}{2}: 12(2.794821922941848+2.817350905627184+2.714130913751178+2.649758163512828)=5.488030952916519.\frac{1}{2} \left(2.794821922941848 + 2.817350905627184 + 2.714130913751178 + 2.649758163512828\right) = 5.488030952916519.

Risposta

13sin4(x)+7dx5.488030952916519\int\limits_{1}^{3} \sqrt{\sin^{4}{\left(x \right)} + 7}\, dx\approx 5.488030952916519A