Calcolo della somma di Riemann per una funzione

Approssimare l'integrale $\int\limits_{0}^{2} \sqrt[3]{x^{4} + 1}\, dx$ con $n = 4$ utilizzando la somma sinistra di Riemann.

La somma di Riemann sinistra (nota anche come approssimazione del punto finale sinistro) utilizza il punto finale sinistro di un sottointervallo per calcolare l'altezza del rettangolo approssimato:

$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{0} \right)} + f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-2} \right)} + f{\left(x_{n-1} \right)}\right)$

dove $\Delta x = \frac{b - a}{n}$.

Si ha che $f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{x^{4} + 1}$, $a = 0$, $b = 2$, e $n = 4$.

Pertanto, $\Delta x = \frac{2 - 0}{4} = \frac{1}{2}$.

Dividere l'intervallo $\left[0, 2\right]$ in $n = 4$ sottointervalli di lunghezza $\Delta x = \frac{1}{2}$ con i seguenti estremi: $a = 0$, $\frac{1}{2}$, $1$, $\frac{3}{2}$, $2 = b$.

A questo punto, è sufficiente valutare la funzione ai punti estremi di sinistra dei sottointervalli.

$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = 1$

$f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(\frac{1}{2} \right)} = \frac{\sqrt[3]{17} \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{4}\approx 1.020413775479337$

$f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(1 \right)} = \sqrt[3]{2}\approx 1.259921049894873$

$f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(\frac{3}{2} \right)} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{97}}{4}\approx 1.82340825744217$

Infine, basta sommare i valori precedenti e moltiplicarli per $\Delta x = \frac{1}{2}$: $\frac{1}{2} \left(1 + 1.020413775479337 + 1.259921049894873 + 1.82340825744217\right) = 2.55187154140819.$

$\int\limits_{0}^{2} \sqrt[3]{x^{4} + 1}\, dx\approx 2.55187154140819$A