Calcolo della regola di Simpson per una funzione

Approssimare un integrale (dato da una funzione) utilizzando la regola di Simpson passo dopo passo

Calcolatrice online per l'approssimazione di un integrale definito utilizzando la regola di Simpson (parabolica) dell'1/3, con passaggi illustrati.

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Il vostro contributo

Approssimare l'integrale 011x5+73dx\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5} + 7}}\, dx con n=4n = 4 utilizzando la regola di Simpson.

Soluzione

La regola di Simpson dell'1/3 (nota anche come regola parabolica) utilizza le parabole per approssimare l'area:

abf(x)dxΔx3(f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+4f(x3)+2f(x4)++4f(xn3)+2f(xn2)+4f(xn1)+f(xn))\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \frac{\Delta x}{3} \left(f{\left(x_{0} \right)} + 4 f{\left(x_{1} \right)} + 2 f{\left(x_{2} \right)} + 4 f{\left(x_{3} \right)} + 2 f{\left(x_{4} \right)}+\dots+4 f{\left(x_{n-3} \right)} + 2 f{\left(x_{n-2} \right)} + 4 f{\left(x_{n-1} \right)} + f{\left(x_{n} \right)}\right)

dove Δx=ban\Delta x = \frac{b - a}{n}.

Si ha che f(x)=1x5+73f{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5} + 7}}, a=0a = 0, b=1b = 1, e n=4n = 4.

Pertanto, Δx=104=14\Delta x = \frac{1 - 0}{4} = \frac{1}{4}.

Dividere l'intervallo [0,1]\left[0, 1\right] in n=4n = 4 sottointervalli di lunghezza Δx=14\Delta x = \frac{1}{4} con i seguenti estremi: a=0a = 0, 14\frac{1}{4}, 12\frac{1}{2}, 34\frac{3}{4}, 1=b1 = b.

Ora, è sufficiente valutare la funzione su questi punti finali.

f(x0)=f(0)=72370.52275795857471f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = \frac{7^{\frac{2}{3}}}{7}\approx 0.52275795857471

4f(x1)=4f(14)=322371692371692.090934604138084 f{\left(x_{1} \right)} = 4 f{\left(\frac{1}{4} \right)} = \frac{32 \sqrt[3]{2} \cdot 7169^{\frac{2}{3}}}{7169}\approx 2.09093460413808

2f(x2)=2f(12)=4153223151.0439647043116972 f{\left(x_{2} \right)} = 2 f{\left(\frac{1}{2} \right)} = \frac{4 \sqrt[3]{15} \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{15}\approx 1.043964704311697

4f(x3)=4f(34)=322374112374112.0679230422383554 f{\left(x_{3} \right)} = 4 f{\left(\frac{3}{4} \right)} = \frac{32 \sqrt[3]{2} \cdot 7411^{\frac{2}{3}}}{7411}\approx 2.067923042238355

f(x4)=f(1)=12=0.5f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(1 \right)} = \frac{1}{2} = 0.5

Infine, basta sommare i valori precedenti e moltiplicarli per Δx3=112\frac{\Delta x}{3} = \frac{1}{12}: 112(0.52275795857471+2.09093460413808+1.043964704311697+2.067923042238355+0.5)=0.518798359105237.\frac{1}{12} \left(0.52275795857471 + 2.09093460413808 + 1.043964704311697 + 2.067923042238355 + 0.5\right) = 0.518798359105237.

Risposta

011x5+73dx0.518798359105237\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5} + 7}}\, dx\approx 0.518798359105237A