Calcolo della regola di Simpson per una funzione

Approssimare l'integrale $\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5} + 7}}\, dx$ con $n = 4$ utilizzando la regola di Simpson.

La regola di Simpson dell'1/3 (nota anche come regola parabolica) utilizza le parabole per approssimare l'area:

$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \frac{\Delta x}{3} \left(f{\left(x_{0} \right)} + 4 f{\left(x_{1} \right)} + 2 f{\left(x_{2} \right)} + 4 f{\left(x_{3} \right)} + 2 f{\left(x_{4} \right)}+\dots+4 f{\left(x_{n-3} \right)} + 2 f{\left(x_{n-2} \right)} + 4 f{\left(x_{n-1} \right)} + f{\left(x_{n} \right)}\right)$

dove $\Delta x = \frac{b - a}{n}$.

Si ha che $f{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5} + 7}}$, $a = 0$, $b = 1$, e $n = 4$.

Pertanto, $\Delta x = \frac{1 - 0}{4} = \frac{1}{4}$.

Dividere l'intervallo $\left[0, 1\right]$ in $n = 4$ sottointervalli di lunghezza $\Delta x = \frac{1}{4}$ con i seguenti estremi: $a = 0$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$, $1 = b$.

Ora, è sufficiente valutare la funzione su questi punti finali.

$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = \frac{7^{\frac{2}{3}}}{7}\approx 0.52275795857471$

$4 f{\left(x_{1} \right)} = 4 f{\left(\frac{1}{4} \right)} = \frac{32 \sqrt[3]{2} \cdot 7169^{\frac{2}{3}}}{7169}\approx 2.09093460413808$

$2 f{\left(x_{2} \right)} = 2 f{\left(\frac{1}{2} \right)} = \frac{4 \sqrt[3]{15} \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{15}\approx 1.043964704311697$

$4 f{\left(x_{3} \right)} = 4 f{\left(\frac{3}{4} \right)} = \frac{32 \sqrt[3]{2} \cdot 7411^{\frac{2}{3}}}{7411}\approx 2.067923042238355$

$f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(1 \right)} = \frac{1}{2} = 0.5$

Infine, basta sommare i valori precedenti e moltiplicarli per $\frac{\Delta x}{3} = \frac{1}{12}$: $\frac{1}{12} \left(0.52275795857471 + 2.09093460413808 + 1.043964704311697 + 2.067923042238355 + 0.5\right) = 0.518798359105237.$

$\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5} + 7}}\, dx\approx 0.518798359105237$A