Soluzione La regola di Simpson dell'1/3 (nota anche come regola parabolica) utilizza le parabole per approssimare l'area:
∫ a b f ( x ) d x ≈ Δ x 3 ( f ( x 0 ) + 4 f ( x 1 ) + 2 f ( x 2 ) + 4 f ( x 3 ) + 2 f ( x 4 ) + ⋯ + 4 f ( x n − 3 ) + 2 f ( x n − 2 ) + 4 f ( x n − 1 ) + f ( x n ) ) \int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \frac{\Delta x}{3} \left(f{\left(x_{0} \right)} + 4 f{\left(x_{1} \right)} + 2 f{\left(x_{2} \right)} + 4 f{\left(x_{3} \right)} + 2 f{\left(x_{4} \right)}+\dots+4 f{\left(x_{n-3} \right)} + 2 f{\left(x_{n-2} \right)} + 4 f{\left(x_{n-1} \right)} + f{\left(x_{n} \right)}\right) a ∫ b f ( x ) d x ≈ 3 Δ x ( f ( x 0 ) + 4 f ( x 1 ) + 2 f ( x 2 ) + 4 f ( x 3 ) + 2 f ( x 4 ) + ⋯ + 4 f ( x n − 3 ) + 2 f ( x n − 2 ) + 4 f ( x n − 1 ) + f ( x n ) )
dove Δ x = b − a n \Delta x = \frac{b - a}{n} Δ x = n b − a .
Si ha che f ( x ) = 1 x 5 + 7 3 f{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5} + 7}} f ( x ) = 3 x 5 + 7 1 , a = 0 a = 0 a = 0 , b = 1 b = 1 b = 1 , e n = 4 n = 4 n = 4 .
Pertanto, Δ x = 1 − 0 4 = 1 4 \Delta x = \frac{1 - 0}{4} = \frac{1}{4} Δ x = 4 1 − 0 = 4 1 .
Dividere l'intervallo [ 0 , 1 ] \left[0, 1\right] [ 0 , 1 ] in n = 4 n = 4 n = 4 sottointervalli di lunghezza Δ x = 1 4 \Delta x = \frac{1}{4} Δ x = 4 1 con i seguenti estremi: a = 0 a = 0 a = 0 , 1 4 \frac{1}{4} 4 1 , 1 2 \frac{1}{2} 2 1 , 3 4 \frac{3}{4} 4 3 , 1 = b 1 = b 1 = b .
Ora, è sufficiente valutare la funzione su questi punti finali.
f ( x 0 ) = f ( 0 ) = 7 2 3 7 ≈ 0.52275795857471 f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = \frac{7^{\frac{2}{3}}}{7}\approx 0.52275795857471 f ( x 0 ) = f ( 0 ) = 7 7 3 2 ≈ 0.52275795857471
4 f ( x 1 ) = 4 f ( 1 4 ) = 32 2 3 ⋅ 716 9 2 3 7169 ≈ 2.09093460413808 4 f{\left(x_{1} \right)} = 4 f{\left(\frac{1}{4} \right)} = \frac{32 \sqrt[3]{2} \cdot 7169^{\frac{2}{3}}}{7169}\approx 2.09093460413808 4 f ( x 1 ) = 4 f ( 4 1 ) = 7169 32 3 2 ⋅ 716 9 3 2 ≈ 2.09093460413808
2 f ( x 2 ) = 2 f ( 1 2 ) = 4 15 3 ⋅ 2 2 3 15 ≈ 1.043964704311697 2 f{\left(x_{2} \right)} = 2 f{\left(\frac{1}{2} \right)} = \frac{4 \sqrt[3]{15} \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{15}\approx 1.043964704311697 2 f ( x 2 ) = 2 f ( 2 1 ) = 15 4 3 15 ⋅ 2 3 2 ≈ 1.043964704311697
4 f ( x 3 ) = 4 f ( 3 4 ) = 32 2 3 ⋅ 741 1 2 3 7411 ≈ 2.067923042238355 4 f{\left(x_{3} \right)} = 4 f{\left(\frac{3}{4} \right)} = \frac{32 \sqrt[3]{2} \cdot 7411^{\frac{2}{3}}}{7411}\approx 2.067923042238355 4 f ( x 3 ) = 4 f ( 4 3 ) = 7411 32 3 2 ⋅ 741 1 3 2 ≈ 2.067923042238355
f ( x 4 ) = f ( 1 ) = 1 2 = 0.5 f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(1 \right)} = \frac{1}{2} = 0.5 f ( x 4 ) = f ( 1 ) = 2 1 = 0.5
Infine, basta sommare i valori precedenti e moltiplicarli per Δ x 3 = 1 12 \frac{\Delta x}{3} = \frac{1}{12} 3 Δ x = 12 1 : 1 12 ( 0.52275795857471 + 2.09093460413808 + 1.043964704311697 + 2.067923042238355 + 0.5 ) = 0.518798359105237. \frac{1}{12} \left(0.52275795857471 + 2.09093460413808 + 1.043964704311697 + 2.067923042238355 + 0.5\right) = 0.518798359105237. 12 1 ( 0.52275795857471 + 2.09093460413808 + 1.043964704311697 + 2.067923042238355 + 0.5 ) = 0.518798359105237.