Calcolatrice dei punti critici, degli estremi e dei punti di sella

Trovare e classificare i punti critici di $f{\left(x,y \right)} = 2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2$.

Il primo passo consiste nel trovare tutte le derivate parziali del primo ordine:

$\frac{\partial}{\partial x} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 4 x \left(y - 1\right)$ (per i passaggi, vedere calcolatrice delle derivate parziali).

$\frac{\partial}{\partial y} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 2 x^{2} + 3 y^{2} - 4 y$ (per i passaggi, vedere calcolatrice delle derivate parziali).

Quindi, risolvere il sistema $\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$, o $\begin{cases} 4 x \left(y - 1\right) = 0 \\ 2 x^{2} + 3 y^{2} - 4 y = 0 \end{cases}$.

Il sistema ha le seguenti soluzioni reali: $\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$, $\left(x, y\right) = \left(0, \frac{4}{3}\right)$, $\left(x, y\right) = \left(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$, $\left(x, y\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$.

Proviamo ora a classificarli.

Trovare tutte le derivate parziali del secondo ordine:

$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 4 y - 4$ (per i passaggi, vedere calcolatrice delle derivate parziali).

$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 4 x$ (per i passaggi, vedere calcolatrice delle derivate parziali).

$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 6 y - 4$ (per i passaggi, vedere calcolatrice delle derivate parziali).

Definire l'espressione $D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = - 16 x^{2} + 24 y^{2} - 40 y + 16.$

Poiché $D{\left(0,0 \right)} = 16$ è maggiore di $0$ e $\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)\right)} = -4$ è minore di $0$, si può affermare che $\left(0, 0\right)$ è un massimo relativo.

Poiché $D{\left(0,\frac{4}{3} \right)} = \frac{16}{3}$ è maggiore di $0$ e $\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(0, \frac{4}{3}\right)\right)} = \frac{4}{3}$ è maggiore di $0$, si può affermare che $\left(0, \frac{4}{3}\right)$ è un minimo relativo.

Poiché $D{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = -8$ è minore di $0$, si può affermare che $\left(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$ è un punto di sella.

Poiché $D{\left(\frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = -8$ è minore di $0$, si può affermare che $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$ è un punto di sella.

Massimo relativo

$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$A, $f{\left(0,0 \right)} = 2$A

Minimi relativi

$\left(x, y\right) = \left(0, \frac{4}{3}\right)\approx \left(0, 1.333333333333333\right)$A, $f{\left(0,\frac{4}{3} \right)} = \frac{22}{27}\approx 0.814814814814815$A

Punti sella

$\left(x, y\right) = \left(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)\approx \left(-0.707106781186548, 1\right)$A, $f{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = 1$A

$\left(x, y\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)\approx \left(0.707106781186548, 1\right)$A, $f{\left(\frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = 1$A