Calcolatrice dei moltiplicatori di Lagrange

Trovare i valori massimo e minimo di $f{\left(x,y \right)} = 3 x + 4 y$ soggetti al vincolo $x^{2} + y^{2} = 25$.

Attenzione! Questa calcolatrice non verifica le condizioni per l'applicazione del metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Utilizzatela a vostro rischio e pericolo: la risposta potrebbe essere errata.

Riscrivere il vincolo $x^{2} + y^{2} = 25$ come $x^{2} + y^{2} - 25 = 0$.

Formare la lagrangiana: $L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)$.

Trovare tutte le derivate parziali del primo ordine:

$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda x + 3$ (per i passaggi, vedere calcolatrice delle derivate parziali).

$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda y + 4$ (per i passaggi, vedere calcolatrice delle derivate parziali).

$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = x^{2} + y^{2} - 25$ (per i passaggi, vedere calcolatrice delle derivate parziali).

Quindi, risolvere il sistema $\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$, o $\begin{cases} 2 \lambda x + 3 = 0 \\ 2 \lambda y + 4 = 0 \\ x^{2} + y^{2} - 25 = 0 \end{cases}$.

Il sistema ha le seguenti soluzioni reali: $\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)$, $\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)$.

$f{\left(-3,-4 \right)} = -25$

$f{\left(3,4 \right)} = 25$

Pertanto, il valore minimo è $-25$, e il valore massimo è $25$.

Massimo

$25$A all'indirizzo $\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)$A.

Minimo

$-25$A all'indirizzo $\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)$A.