Calcolatrice dei moltiplicatori di Lagrange

Applicare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange passo per passo

La calcolatrice cercherà di trovare i massimi e i minimi della funzione a due o tre variabili, soggetta ai vincoli dati, utilizzando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, con i passi indicati.

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Opzionale.

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Il vostro contributo

Trovare i valori massimo e minimo di f(x,y)=3x+4yf{\left(x,y \right)} = 3 x + 4 y soggetti al vincolo x2+y2=25x^{2} + y^{2} = 25.

Soluzione

Attenzione! Questa calcolatrice non verifica le condizioni per l'applicazione del metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Utilizzatela a vostro rischio e pericolo: la risposta potrebbe essere errata.

Riscrivere il vincolo x2+y2=25x^{2} + y^{2} = 25 come x2+y225=0x^{2} + y^{2} - 25 = 0.

Formare la lagrangiana: L(x,y,λ)=(3x+4y)+λ(x2+y225)L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right).

Trovare tutte le derivate parziali del primo ordine:

x((3x+4y)+λ(x2+y225))=2λx+3\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda x + 3 (per i passaggi, vedere calcolatrice delle derivate parziali).

y((3x+4y)+λ(x2+y225))=2λy+4\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda y + 4 (per i passaggi, vedere calcolatrice delle derivate parziali).

λ((3x+4y)+λ(x2+y225))=x2+y225\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = x^{2} + y^{2} - 25 (per i passaggi, vedere calcolatrice delle derivate parziali).

Quindi, risolvere il sistema {Lx=0Ly=0Lλ=0\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}, o {2λx+3=02λy+4=0x2+y225=0\begin{cases} 2 \lambda x + 3 = 0 \\ 2 \lambda y + 4 = 0 \\ x^{2} + y^{2} - 25 = 0 \end{cases}.

Il sistema ha le seguenti soluzioni reali: (x,y)=(3,4)\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right), (x,y)=(3,4)\left(x, y\right) = \left(3, 4\right).

f(3,4)=25f{\left(-3,-4 \right)} = -25

f(3,4)=25f{\left(3,4 \right)} = 25

Pertanto, il valore minimo è 25-25, e il valore massimo è 2525.

Risposta

Massimo

2525A all'indirizzo (x,y)=(3,4)\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)A.

Minimo

25-25A all'indirizzo (x,y)=(3,4)\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)A.