Calcolo della torsione

Calcolo della torsione passo dopo passo

La calcolatrice troverà la torsione della funzione vettoriale data nel punto dato, con i passi indicati.

Calcolatrice correlata: Calcolatore di curvatura

\langle
,
,
\rangle
Lasciare vuoto se non si ha bisogno della torsione in un punto specifico.

Se la calcolatrice non ha calcolato qualcosa, se avete individuato un errore o se avete un suggerimento/feedback, contattateci.

Il vostro contributo

Trovare la torsione di r(t)=t2,t3,t\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle t^{2}, t^{3}, t\right\rangle.

Soluzione

Trovare la derivata di r(t)\mathbf{\vec{r}\left(t\right)}: r(t)=2t,3t2,1\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle 2 t, 3 t^{2}, 1\right\rangle (per i passaggi, vedere calcolatrice delle derivate).

Trovare la derivata di r(t)\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}: r(t)=2,6t,0\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 2, 6 t, 0\right\rangle (per i passaggi, vedere calcolatrice delle derivate).

Trovare il prodotto incrociato: r(t)×r(t)=6t,2,6t2\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle - 6 t, 2, 6 t^{2}\right\rangle (per i passaggi, vedere calcolatrice del prodotto incrociato).

Trovare la magnitudine di r(t)×r(t)\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}: r(t)×r(t)=29t4+9t2+1\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = 2 \sqrt{9 t^{4} + 9 t^{2} + 1} (per i passaggi, vedere calcolatrice di magnitudine).

Trovare la derivata di r(t)\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}: r(t)=0,6,0\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 0, 6, 0\right\rangle (per i passaggi, vedere calcolatrice delle derivate).

Trovare il prodotto dei punti: (r(t)×r(t))r(t)=12\left(\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right)\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime\prime}\left(t\right)} = 12 (per i passaggi, vedere calcolatrice del prodotto dei punti).

Infine, la torsione è τ(t)=(r(t)×r(t))r(t)r(t)×r(t)2=39t4+9t2+1.\tau\left(t\right) = \frac{\left(\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right)\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime\prime}\left(t\right)}}{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert}^{2}} = \frac{3}{9 t^{4} + 9 t^{2} + 1}.

Risposta

La torsione è τ(t)=39t4+9t2+1\tau\left(t\right) = \frac{3}{9 t^{4} + 9 t^{2} + 1}A.