Calcolo della torsione

Trovare la torsione di $\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle t^{2}, t^{3}, t\right\rangle$.

Trovare la derivata di $\mathbf{\vec{r}\left(t\right)}$: $\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle 2 t, 3 t^{2}, 1\right\rangle$ (per i passaggi, vedere calcolatrice delle derivate).

Trovare la derivata di $\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}$: $\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 2, 6 t, 0\right\rangle$ (per i passaggi, vedere calcolatrice delle derivate).

Trovare il prodotto incrociato: $\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle - 6 t, 2, 6 t^{2}\right\rangle$ (per i passaggi, vedere calcolatrice del prodotto incrociato).

Trovare la magnitudine di $\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}$: $\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = 2 \sqrt{9 t^{4} + 9 t^{2} + 1}$ (per i passaggi, vedere calcolatrice di magnitudine).

Trovare la derivata di $\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}$: $\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 0, 6, 0\right\rangle$ (per i passaggi, vedere calcolatrice delle derivate).

Trovare il prodotto dei punti: $\left(\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right)\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime\prime}\left(t\right)} = 12$ (per i passaggi, vedere calcolatrice del prodotto dei punti).

Infine, la torsione è $\tau\left(t\right) = \frac{\left(\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right)\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime\prime}\left(t\right)}}{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert}^{2}} = \frac{3}{9 t^{4} + 9 t^{2} + 1}.$

La torsione è $\tau\left(t\right) = \frac{3}{9 t^{4} + 9 t^{2} + 1}$A.