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Calcolatrice del metodo di Eulero modificato

Applicare il metodo di Eulero modificato passo per passo

La calcolatrice troverà la soluzione approssimativa dell'equazione differenziale del primo ordine utilizzando il metodo di Eulero modificato, con i passaggi indicati.

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Oppure y′(x)=f(x,y)y^{\prime }\left(x\right) = f{\left(x,y \right)}.
Oppure x0x_{0}.
y0=y(t0)y_0=y(t_0) o y0=y(x0)y_0=y(x_0).
Oppure x1x_{1}.

Se la calcolatrice non ha calcolato qualcosa, se avete individuato un errore o se avete un suggerimento/feedback, contattateci.

Il vostro contributo

Trovare y(1)y{\left(1 \right)} per y′(t)=2t−yy^{\prime }\left(t\right) = 2 t - y, quando y(0)=1y{\left(0 \right)} = 1, h=15h = \frac{1}{5} utilizzando il metodo di Eulero modificato.

Soluzione

Il metodo di Eulero modificato afferma che yn+1=yn+hf(tn+h2,yn+h2f(tn,yn))y_{n+1} = y_{n} + h f{\left(t_{n} + \frac{h}{2},y_{n} + \frac{h}{2} f{\left(t_{n},y_{n} \right)} \right)}, dove tn+1=tn+ht_{n+1} = t_{n} + h.

Si ha che h=15h = \frac{1}{5}, t0=0t_{0} = 0, y0=1y_{0} = 1, e f(t,y)=2t−yf{\left(t,y \right)} = 2 t - y.

Passo 1

t1=t0+h=0+15=15t_{1} = t_{0} + h = 0 + \frac{1}{5} = \frac{1}{5}

f(t0,y0)=f(0,1)=−1f{\left(t_{0},y_{0} \right)} = f{\left(0,1 \right)} = -1

y1=y(t1)=y(15)=y0+hf(t0+h2,y0+h2f(t0,y0))=1+f(0+152,1+152(−1))5=0.86y_{1} = y{\left(t_{1} \right)} = y{\left(\frac{1}{5} \right)} = y_{0} + h f{\left(t_{0} + \frac{h}{2},y_{0} + \frac{h}{2} f{\left(t_{0},y_{0} \right)} \right)} = 1 + \frac{f{\left(0 + \frac{\frac{1}{5}}{2},1 + \frac{\frac{1}{5}}{2} \left(-1\right) \right)}}{5} = 0.86

Passo 2

t2=t1+h=15+15=25t_{2} = t_{1} + h = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5}

f(t1,y1)=f(15,0.86)=−0.46f{\left(t_{1},y_{1} \right)} = f{\left(\frac{1}{5},0.86 \right)} = -0.46

y2=y(t2)=y(25)=y1+hf(t1+h2,y1+h2f(t1,y1))=0.86+f(15+152,0.86+152(−0.46))5=0.8172y_{2} = y{\left(t_{2} \right)} = y{\left(\frac{2}{5} \right)} = y_{1} + h f{\left(t_{1} + \frac{h}{2},y_{1} + \frac{h}{2} f{\left(t_{1},y_{1} \right)} \right)} = 0.86 + \frac{f{\left(\frac{1}{5} + \frac{\frac{1}{5}}{2},0.86 + \frac{\frac{1}{5}}{2} \left(-0.46\right) \right)}}{5} = 0.8172

Passo 3

t3=t2+h=25+15=35t_{3} = t_{2} + h = \frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}

f(t2,y2)=f(25,0.8172)=−0.0172f{\left(t_{2},y_{2} \right)} = f{\left(\frac{2}{5},0.8172 \right)} = -0.0172

y3=y(t3)=y(35)=y2+hf(t2+h2,y2+h2f(t2,y2))=0.8172+f(25+152,0.8172+152(−0.0172))5=0.854104y_{3} = y{\left(t_{3} \right)} = y{\left(\frac{3}{5} \right)} = y_{2} + h f{\left(t_{2} + \frac{h}{2},y_{2} + \frac{h}{2} f{\left(t_{2},y_{2} \right)} \right)} = 0.8172 + \frac{f{\left(\frac{2}{5} + \frac{\frac{1}{5}}{2},0.8172 + \frac{\frac{1}{5}}{2} \left(-0.0172\right) \right)}}{5} = 0.854104

Passo 4

t4=t3+h=35+15=45t_{4} = t_{3} + h = \frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{5}

f(t3,y3)=f(35,0.854104)=0.345896f{\left(t_{3},y_{3} \right)} = f{\left(\frac{3}{5},0.854104 \right)} = 0.345896

y4=y(t4)=y(45)=y3+hf(t3+h2,y3+h2f(t3,y3))=0.854104+f(35+152,0.854104+152⋅0.345896)5=0.95636528y_{4} = y{\left(t_{4} \right)} = y{\left(\frac{4}{5} \right)} = y_{3} + h f{\left(t_{3} + \frac{h}{2},y_{3} + \frac{h}{2} f{\left(t_{3},y_{3} \right)} \right)} = 0.854104 + \frac{f{\left(\frac{3}{5} + \frac{\frac{1}{5}}{2},0.854104 + \frac{\frac{1}{5}}{2} \cdot 0.345896 \right)}}{5} = 0.95636528

Passo 5

t5=t4+h=45+15=1t_{5} = t_{4} + h = \frac{4}{5} + \frac{1}{5} = 1

f(t4,y4)=f(45,0.95636528)=0.64363472f{\left(t_{4},y_{4} \right)} = f{\left(\frac{4}{5},0.95636528 \right)} = 0.64363472

y5=y(t5)=y(1)=y4+hf(t4+h2,y4+h2f(t4,y4))=0.95636528+f(45+152,0.95636528+152⋅0.64363472)5=1.1122195296y_{5} = y{\left(t_{5} \right)} = y{\left(1 \right)} = y_{4} + h f{\left(t_{4} + \frac{h}{2},y_{4} + \frac{h}{2} f{\left(t_{4},y_{4} \right)} \right)} = 0.95636528 + \frac{f{\left(\frac{4}{5} + \frac{\frac{1}{5}}{2},0.95636528 + \frac{\frac{1}{5}}{2} \cdot 0.64363472 \right)}}{5} = 1.1122195296

Risposta

y(1)≈1.1122195296y{\left(1 \right)}\approx 1.1122195296A