Calcolatrice a triangolo

Risolvere il triangolo, se $a = 9$, $b = 9 \sqrt{2}$, $C = 45^{\circ}$.

Secondo la legge dei coseni: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos{\left(C \right)}$.

Nel nostro caso, $c^{2} = 9^{2} + \left(9 \sqrt{2}\right)^{2} - \left(2\right)\cdot \left(9\right)\cdot \left(9 \sqrt{2}\right)\cdot \left(\cos{\left(45^{\circ} \right)}\right) = 81.$

Pertanto, $c = 9$.

Secondo la legge dei seni: $\frac{a}{\sin{\left(A \right)}} = \frac{c}{\sin{\left(C \right)}}$.

Nel nostro caso, $\frac{9}{\sin{\left(A \right)}} = \frac{9}{\sin{\left(45^{\circ} \right)}}$.

Pertanto, $\sin{\left(A \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

I casi possibili sono due:

1. $A = 45^{\circ}$

   Il terzo angolo è $B = 180^{\circ} - \left(A + C\right)$.

   Nel nostro caso, $B = 180^{\circ} - \left(45^{\circ} + 45^{\circ}\right) = 90^{\circ}$.

   L'area è $S = \frac{1}{2} a b \sin{\left(C \right)} = \left(\frac{1}{2}\right)\cdot \left(9\right)\cdot \left(9 \sqrt{2}\right)\cdot \left(\sin{\left(45^{\circ} \right)}\right) = \frac{81}{2}.$

   Il perimetro è $P = a + b + c = 9 + 9 \sqrt{2} + 9 = 9 \left(\sqrt{2} + 2\right)$.

2. $A = 135^{\circ}$

   Il terzo angolo è $B = 180^{\circ} - \left(A + C\right)$.

   Nel nostro caso, $B = 180^{\circ} - \left(135^{\circ} + 45^{\circ}\right) = 0^{\circ}$.

   Questo caso è impossibile, poiché l'angolo è non positivo.

$a = 9$A

$b = 9 \sqrt{2}\approx 12.727922061357855$A

$c = 9$A

$A = 45^{\circ}$A

$B = 90^{\circ}$A

$C = 45^{\circ}$A

Area: $S = \frac{81}{2} = 40.5$A.

Perimetro: $P = 9 \left(\sqrt{2} + 2\right)\approx 30.727922061357855$A.