Soluzione La matrice dei cofattori è costituita da tutti i cofattori della matrice data, che vengono calcolati secondo la formula C i j = ( − 1 ) i + j M i j C_{ij}=\left(-1\right)^{i+j}M_{ij} C ij = ( − 1 ) i + j M ij , dove M i j M_{ij} M ij è il minore , cioè il determinante della sottomatrice formata eliminando la riga i i i e la colonna j j j dalla matrice data.
Calcolare tutti i cofattori:
C 11 = ( − 1 ) 1 + 1 ∣ 5 6 8 9 ∣ = − 3 C_{11} = \left(-1\right)^{1 + 1} \left|\begin{array}{cc}5 & 6\\8 & 9\end{array}\right| = -3 C 11 = ( − 1 ) 1 + 1 ∣ ∣ 5 8 6 9 ∣ ∣ = − 3 (per i passaggi, vedere calcolatrice di determinanti ).
C 12 = ( − 1 ) 1 + 2 ∣ 4 6 7 9 ∣ = 6 C_{12} = \left(-1\right)^{1 + 2} \left|\begin{array}{cc}4 & 6\\7 & 9\end{array}\right| = 6 C 12 = ( − 1 ) 1 + 2 ∣ ∣ 4 7 6 9 ∣ ∣ = 6 (per i passaggi, vedere calcolatrice di determinanti ).
C 13 = ( − 1 ) 1 + 3 ∣ 4 5 7 8 ∣ = − 3 C_{13} = \left(-1\right)^{1 + 3} \left|\begin{array}{cc}4 & 5\\7 & 8\end{array}\right| = -3 C 13 = ( − 1 ) 1 + 3 ∣ ∣ 4 7 5 8 ∣ ∣ = − 3 (per i passaggi, vedere calcolatrice di determinanti ).
C 21 = ( − 1 ) 2 + 1 ∣ 2 3 8 9 ∣ = 6 C_{21} = \left(-1\right)^{2 + 1} \left|\begin{array}{cc}2 & 3\\8 & 9\end{array}\right| = 6 C 21 = ( − 1 ) 2 + 1 ∣ ∣ 2 8 3 9 ∣ ∣ = 6 (per i passaggi, vedere calcolatrice di determinanti ).
C 22 = ( − 1 ) 2 + 2 ∣ 1 3 7 9 ∣ = − 12 C_{22} = \left(-1\right)^{2 + 2} \left|\begin{array}{cc}1 & 3\\7 & 9\end{array}\right| = -12 C 22 = ( − 1 ) 2 + 2 ∣ ∣ 1 7 3 9 ∣ ∣ = − 12 (per i passaggi, vedere calcolatrice di determinanti ).
C 23 = ( − 1 ) 2 + 3 ∣ 1 2 7 8 ∣ = 6 C_{23} = \left(-1\right)^{2 + 3} \left|\begin{array}{cc}1 & 2\\7 & 8\end{array}\right| = 6 C 23 = ( − 1 ) 2 + 3 ∣ ∣ 1 7 2 8 ∣ ∣ = 6 (per i passaggi, vedere calcolatrice di determinanti ).
C 31 = ( − 1 ) 3 + 1 ∣ 2 3 5 6 ∣ = − 3 C_{31} = \left(-1\right)^{3 + 1} \left|\begin{array}{cc}2 & 3\\5 & 6\end{array}\right| = -3 C 31 = ( − 1 ) 3 + 1 ∣ ∣ 2 5 3 6 ∣ ∣ = − 3 (per i passaggi, vedere calcolatrice di determinanti ).
C 32 = ( − 1 ) 3 + 2 ∣ 1 3 4 6 ∣ = 6 C_{32} = \left(-1\right)^{3 + 2} \left|\begin{array}{cc}1 & 3\\4 & 6\end{array}\right| = 6 C 32 = ( − 1 ) 3 + 2 ∣ ∣ 1 4 3 6 ∣ ∣ = 6 (per i passaggi, vedere calcolatrice di determinanti ).
C 33 = ( − 1 ) 3 + 3 ∣ 1 2 4 5 ∣ = − 3 C_{33} = \left(-1\right)^{3 + 3} \left|\begin{array}{cc}1 & 2\\4 & 5\end{array}\right| = -3 C 33 = ( − 1 ) 3 + 3 ∣ ∣ 1 4 2 5 ∣ ∣ = − 3 (per i passaggi, vedere calcolatrice di determinanti ).
Pertanto, la matrice dei cofattori è [ − 3 6 − 3 6 − 12 6 − 3 6 − 3 ] \left[\begin{array}{ccc}-3 & 6 & -3\\6 & -12 & 6\\-3 & 6 & -3\end{array}\right] ⎣ ⎡ − 3 6 − 3 6 − 12 6 − 3 6 − 3 ⎦ ⎤ .