Calcolatrice della fattorizzazione QR

Trovare la decomposizione QR di una matrice passo dopo passo

La calcolatrice troverà la fattorizzazione QR della matrice data AA, cioè una matrice ortogonale (o semiortogonale) QQ e una matrice triangolare superiore RR che A=QRA=QR, con i passi indicati.

Calcolatrice correlata: Calcolatrice della decomposizione LU

×\times
A

Se la calcolatrice non ha calcolato qualcosa, se avete individuato un errore o se avete un suggerimento/feedback, contattateci.

Il vostro contributo

Trovare la fattorizzazione QR di [135131217]\left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & 5\\1 & 3 & 1\\2 & -1 & 7\end{array}\right].

Soluzione

Ortonormalizza l'insieme dei vettori formati dalle colonne della matrice data: {[666663],[333333],[22220]}\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{6}}{6}\\\frac{\sqrt{6}}{6}\\\frac{\sqrt{6}}{3}\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{3}}{3}\\\frac{\sqrt{3}}{3}\\- \frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\- \frac{\sqrt{2}}{2}\\0\end{array}\right]\right\} (per i passaggi, vedere calcolatrice di Gram-Schmidt).

Le colonne della matrice QQ sono i vettori ortonormalizzati: Q=[66332266332263330].Q = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{6}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & 0\end{array}\right].

Trovare la trasposizione della matrice: QT=[66666333333322220]Q^{T} = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{3}\\\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{3}\\\frac{\sqrt{2}}{2} & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0\end{array}\right] (per i passaggi, vedere calcolatrice della trasposizione della matrice).

Infine, R=[66666333333322220][135131217]=[626310630733330022]R = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{3}\\\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{3}\\\frac{\sqrt{2}}{2} & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & 5\\1 & 3 & 1\\2 & -1 & 7\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}\sqrt{6} & \frac{2 \sqrt{6}}{3} & \frac{10 \sqrt{6}}{3}\\0 & \frac{7 \sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{3}\\0 & 0 & 2 \sqrt{2}\end{array}\right] (per i passaggi, vedere calcolatrice di moltiplicazione matriciale).

Risposta

Q=[66332266332263330][0.4082482904638630.5773502691896260.7071067811865480.4082482904638630.5773502691896260.7071067811865480.8164965809277260.5773502691896260]Q = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{6}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & 0\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}0.408248290463863 & 0.577350269189626 & 0.707106781186548\\0.408248290463863 & 0.577350269189626 & -0.707106781186548\\0.816496580927726 & -0.577350269189626 & 0\end{array}\right]A

R=[626310630733330022][2.4494897427831781.6329931618554528.1649658092772604.041451884327380.577350269189626002.82842712474619]R = \left[\begin{array}{ccc}\sqrt{6} & \frac{2 \sqrt{6}}{3} & \frac{10 \sqrt{6}}{3}\\0 & \frac{7 \sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{3}\\0 & 0 & 2 \sqrt{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}2.449489742783178 & 1.632993161855452 & 8.16496580927726\\0 & 4.04145188432738 & -0.577350269189626\\0 & 0 & 2.82842712474619\end{array}\right]A