Pochodna 1x2\sqrt{1 - x^{2}}

Kalkulator znajdzie pochodną 1x2\sqrt{1 - x^{2}}, z pokazanymi krokami.

Powiązane kalkulatory: Kalkulator różniczkowania logarytmicznego, Kalkulator różniczkowania niejawnego z krokami

Pozostaw puste dla automatycznego wykrywania.
Pozostaw puste, jeśli nie potrzebujesz pochodnej w określonym punkcie.

Jeśli kalkulator nie obliczył czegoś lub zidentyfikowałeś błąd, lub masz sugestię / opinię, skontaktuj się z nami.

Twój wkład

Znajdź ddx(1x2)\frac{d}{dx} \left(\sqrt{1 - x^{2}}\right).

Rozwiązanie

Funkcja 1x2\sqrt{1 - x^{2}} jest złożeniem f(g(x))f{\left(g{\left(x \right)} \right)} dwóch funkcji f(u)=uf{\left(u \right)} = \sqrt{u} i g(x)=1x2g{\left(x \right)} = 1 - x^{2}.

Zastosuj regułę łańcucha ddx(f(g(x)))=ddu(f(u))ddx(g(x))\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right):

(ddx(1x2))=(ddu(u)ddx(1x2)){\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sqrt{1 - x^{2}}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sqrt{u}\right) \frac{d}{dx} \left(1 - x^{2}\right)\right)}

Zastosuj regułę potęgowania ddu(un)=nun1\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1} z n=12n = \frac{1}{2}:

(ddu(u))ddx(1x2)=(12u)ddx(1x2){\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sqrt{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(1 - x^{2}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)} \frac{d}{dx} \left(1 - x^{2}\right)

Powrót do starej zmiennej:

ddx(1x2)2(u)=ddx(1x2)2(1x2)\frac{\frac{d}{dx} \left(1 - x^{2}\right)}{2 \sqrt{{\color{red}\left(u\right)}}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(1 - x^{2}\right)}{2 \sqrt{{\color{red}\left(1 - x^{2}\right)}}}

Pochodna sumy/różnicy jest sumą/różnicą pochodnych:

(ddx(1x2))21x2=(ddx(1)ddx(x2))21x2\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1 - x^{2}\right)\right)}}{2 \sqrt{1 - x^{2}}} = \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right) - \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)\right)}}{2 \sqrt{1 - x^{2}}}

Pochodną stałej jest 00:

(ddx(1))ddx(x2)21x2=(0)ddx(x2)21x2\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right)\right)} - \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)}{2 \sqrt{1 - x^{2}}} = \frac{{\color{red}\left(0\right)} - \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)}{2 \sqrt{1 - x^{2}}}

Zastosuj regułę potęgowania ddx(xn)=nxn1\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1} z n=2n = 2:

(ddx(x2))21x2=(2x)21x2- \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)\right)}}{2 \sqrt{1 - x^{2}}} = - \frac{{\color{red}\left(2 x\right)}}{2 \sqrt{1 - x^{2}}}

Tak więc, ddx(1x2)=x1x2\frac{d}{dx} \left(\sqrt{1 - x^{2}}\right) = - \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}.

Odpowiedź

ddx(1x2)=x1x2\frac{d}{dx} \left(\sqrt{1 - x^{2}}\right) = - \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}A