Kalkulator przybliżenia lewego punktu końcowego dla funkcji

Przybliżanie całki (określonej przez funkcję) przy użyciu lewych punktów końcowych krok po kroku

Kalkulator online do przybliżania całki oznaczonej przy użyciu lewych punktów końcowych (lewa suma Riemanna), z pokazanymi krokami.

Powiązany kalkulator: Kalkulator przybliżenia lewego punktu końcowego dla tabeli

Jeśli kalkulator nie obliczył czegoś lub zidentyfikowałeś błąd, lub masz sugestię / opinię, skontaktuj się z nami.

Twój wkład

Przybliż całkę 04cos4(x)+2dx\int\limits_{0}^{4} \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}\, dx z n=5n = 5 używając przybliżenia lewego punktu końcowego.

Rozwiązanie

lewa suma Riemanna (znana również jako aproksymacja lewego punktu końcowego) wykorzystuje lewy punkt końcowy podprzedziału do obliczenia wysokości prostokąta aproksymującego:

abf(x)dxΔx(f(x0)+f(x1)+f(x2)++f(xn2)+f(xn1))\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{0} \right)} + f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-2} \right)} + f{\left(x_{n-1} \right)}\right)

gdzie Δx=ban\Delta x = \frac{b - a}{n}.

Mamy, że f(x)=cos4(x)+2f{\left(x \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}, a=0a = 0, b=4b = 4 i n=5n = 5.

Dlatego Δx=405=45\Delta x = \frac{4 - 0}{5} = \frac{4}{5}.

Podzielić przedział [0,4]\left[0, 4\right] na n=5n = 5 podprzedziały o długości Δx=45\Delta x = \frac{4}{5} z następującymi punktami końcowymi: a=0a = 0, 45\frac{4}{5}, 85\frac{8}{5}, 125\frac{12}{5}, 165\frac{16}{5}, 4=b4 = b.

Teraz wystarczy obliczyć funkcję w lewych punktach końcowych podprzedziałów.

f(x0)=f(0)=31.732050807568877f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = \sqrt{3}\approx 1.732050807568877

f(x1)=f(45)=cos4(45)+21.495196773630485f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(\frac{4}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{4}{5} \right)} + 2}\approx 1.495196773630485

f(x2)=f(85)=cos4(85)+21.414213819387789f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(\frac{8}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{8}{5} \right)} + 2}\approx 1.414213819387789

f(x3)=f(125)=cos4(125)+21.515144715776502f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(\frac{12}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{12}{5} \right)} + 2}\approx 1.515144715776502

f(x4)=f(165)=cos4(165)+21.730085700215823f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(\frac{16}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{16}{5} \right)} + 2}\approx 1.730085700215823

Na koniec wystarczy zsumować powyższe wartości i pomnożyć przez Δx=45\Delta x = \frac{4}{5}: 45(1.732050807568877+1.495196773630485+1.414213819387789+1.515144715776502+1.730085700215823)=6.309353453263581.\frac{4}{5} \left(1.732050807568877 + 1.495196773630485 + 1.414213819387789 + 1.515144715776502 + 1.730085700215823\right) = 6.309353453263581.

Odpowiedź

04cos4(x)+2dx6.309353453263581\int\limits_{0}^{4} \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}\, dx\approx 6.309353453263581A