Kalkulator przybliżenia lewego punktu końcowego dla funkcji

Przybliż całkę $\int\limits_{0}^{4} \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}\, dx$ z $n = 5$ używając przybliżenia lewego punktu końcowego.

lewa suma Riemanna (znana również jako aproksymacja lewego punktu końcowego) wykorzystuje lewy punkt końcowy podprzedziału do obliczenia wysokości prostokąta aproksymującego:

$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{0} \right)} + f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-2} \right)} + f{\left(x_{n-1} \right)}\right)$

gdzie $\Delta x = \frac{b - a}{n}$.

Mamy, że $f{\left(x \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}$, $a = 0$, $b = 4$ i $n = 5$.

Dlatego $\Delta x = \frac{4 - 0}{5} = \frac{4}{5}$.

Podzielić przedział $\left[0, 4\right]$ na $n = 5$ podprzedziały o długości $\Delta x = \frac{4}{5}$ z następującymi punktami końcowymi: $a = 0$, $\frac{4}{5}$, $\frac{8}{5}$, $\frac{12}{5}$, $\frac{16}{5}$, $4 = b$.

Teraz wystarczy obliczyć funkcję w lewych punktach końcowych podprzedziałów.

$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = \sqrt{3}\approx 1.732050807568877$

$f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(\frac{4}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{4}{5} \right)} + 2}\approx 1.495196773630485$

$f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(\frac{8}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{8}{5} \right)} + 2}\approx 1.414213819387789$

$f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(\frac{12}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{12}{5} \right)} + 2}\approx 1.515144715776502$

$f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(\frac{16}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{16}{5} \right)} + 2}\approx 1.730085700215823$

Na koniec wystarczy zsumować powyższe wartości i pomnożyć przez $\Delta x = \frac{4}{5}$: $\frac{4}{5} \left(1.732050807568877 + 1.495196773630485 + 1.414213819387789 + 1.515144715776502 + 1.730085700215823\right) = 6.309353453263581.$

$\int\limits_{0}^{4} \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}\, dx\approx 6.309353453263581$A