Kalkulator online do przybliżania całki oznaczonej przy użyciu reguły punktu środkowego (środkowej współrzędnej), z pokazanymi krokami.
Powiązany kalkulator:
Kalkulator reguły punktu środkowego dla tabeli
Rozwiązanie Reguła punktu środkowego (znana również jako aproksymacja punktu środkowego) wykorzystuje punkt środkowy podprzedziału do obliczenia wysokości prostokąta aproksymującego:
∫ a b f ( x ) d x ≈ Δ x ( f ( x 0 + x 1 2 ) + f ( x 1 + x 2 2 ) + f ( x 2 + x 3 2 ) + ⋯ + f ( x n − 2 + x n − 1 2 ) + f ( x n − 1 + x n 2 ) ) \int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(\frac{x_{0} + x_{1}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{2} + x_{3}}{2} \right)}+\dots+f{\left(\frac{x_{n-2} + x_{n-1}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{n-1} + x_{n}}{2} \right)}\right) a ∫ b f ( x ) d x ≈ Δ x ( f ( 2 x 0 + x 1 ) + f ( 2 x 1 + x 2 ) + f ( 2 x 2 + x 3 ) + ⋯ + f ( 2 x n − 2 + x n − 1 ) + f ( 2 x n − 1 + x n ) )
gdzie Δ x = b − a n \Delta x = \frac{b - a}{n} Δ x = n b − a
Mamy, że f ( x ) = sin 4 ( x ) + 7 f{\left(x \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(x \right)} + 7} f ( x ) = sin 4 ( x ) + 7 a = 1 a = 1 a = 1 b = 3 b = 3 b = 3 n = 4 n = 4 n = 4
Dlatego Δ x = 3 − 1 4 = 1 2 \Delta x = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2} Δ x = 4 3 − 1 = 2 1
Podzielić przedział [ 1 , 3 ] \left[1, 3\right] [ 1 , 3 ] n = 4 n = 4 n = 4 Δ x = 1 2 \Delta x = \frac{1}{2} Δ x = 2 1 a = 1 a = 1 a = 1 3 2 \frac{3}{2} 2 3 2 2 2 5 2 \frac{5}{2} 2 5 3 = b 3 = b 3 = b
Teraz wystarczy obliczyć funkcję w punktach środkowych podprzedziałów.
f ( x 0 + x 1 2 ) = f ( 1 + 3 2 2 ) = f ( 5 4 ) = sin 4 ( 5 4 ) + 7 ≈ 2.794821922941848 f{\left(\frac{x_{0} + x_{1}}{2} \right)} = f{\left(\frac{1 + \frac{3}{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{5}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{5}{4} \right)} + 7}\approx 2.794821922941848 f ( 2 x 0 + x 1 ) = f ( 2 1 + 2 3 ) = f ( 4 5 ) = sin 4 ( 4 5 ) + 7 ≈ 2.794821922941848
f ( x 1 + x 2 2 ) = f ( 3 2 + 2 2 ) = f ( 7 4 ) = sin 4 ( 7 4 ) + 7 ≈ 2.817350905627184 f{\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{\frac{3}{2} + 2}{2} \right)} = f{\left(\frac{7}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{7}{4} \right)} + 7}\approx 2.817350905627184 f ( 2 x 1 + x 2 ) = f ( 2 2 3 + 2 ) = f ( 4 7 ) = sin 4 ( 4 7 ) + 7 ≈ 2.817350905627184
f ( x 2 + x 3 2 ) = f ( 2 + 5 2 2 ) = f ( 9 4 ) = sin 4 ( 9 4 ) + 7 ≈ 2.714130913751178 f{\left(\frac{x_{2} + x_{3}}{2} \right)} = f{\left(\frac{2 + \frac{5}{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{9}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{9}{4} \right)} + 7}\approx 2.714130913751178 f ( 2 x 2 + x 3 ) = f ( 2 2 + 2 5 ) = f ( 4 9 ) = sin 4 ( 4 9 ) + 7 ≈ 2.714130913751178
f ( x 3 + x 4 2 ) = f ( 5 2 + 3 2 ) = f ( 11 4 ) = sin 4 ( 11 4 ) + 7 ≈ 2.649758163512828 f{\left(\frac{x_{3} + x_{4}}{2} \right)} = f{\left(\frac{\frac{5}{2} + 3}{2} \right)} = f{\left(\frac{11}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{11}{4} \right)} + 7}\approx 2.649758163512828 f ( 2 x 3 + x 4 ) = f ( 2 2 5 + 3 ) = f ( 4 11 ) = sin 4 ( 4 11 ) + 7 ≈ 2.649758163512828
Na koniec wystarczy zsumować powyższe wartości i pomnożyć przez Δ x = 1 2 \Delta x = \frac{1}{2} Δ x = 2 1 1 2 ( 2.794821922941848 + 2.817350905627184 + 2.714130913751178 + 2.649758163512828 ) = 5.488030952916519. \frac{1}{2} \left(2.794821922941848 + 2.817350905627184 + 2.714130913751178 + 2.649758163512828\right) = 5.488030952916519. 2 1 ( 2.794821922941848 + 2.817350905627184 + 2.714130913751178 + 2.649758163512828 ) = 5.488030952916519.
Odpowiedź ∫ 1 3 sin 4 ( x ) + 7 d x ≈ 5.488030952916519 \int\limits_{1}^{3} \sqrt{\sin^{4}{\left(x \right)} + 7}\, dx\approx 5.488030952916519 1 ∫ 3 sin 4 ( x ) + 7 d x ≈ 5.488030952916519 A
|
|
|
|
|
|
