Kalkulator reguły punktu środkowego dla funkcji

Przybliżanie całki (określonej przez funkcję) przy użyciu reguły punktu środkowego krok po kroku

Kalkulator online do przybliżania całki oznaczonej przy użyciu reguły punktu środkowego (środkowej współrzędnej), z pokazanymi krokami.

Powiązany kalkulator: Kalkulator reguły punktu środkowego dla tabeli

Jeśli kalkulator nie obliczył czegoś lub zidentyfikowałeś błąd, lub masz sugestię / opinię, skontaktuj się z nami.

Twój wkład

Przybliż całkę 13sin4(x)+7dx\int\limits_{1}^{3} \sqrt{\sin^{4}{\left(x \right)} + 7}\, dx za pomocą n=4n = 4, korzystając z reguły punktu środkowego.

Rozwiązanie

Reguła punktu środkowego (znana również jako aproksymacja punktu środkowego) wykorzystuje punkt środkowy podprzedziału do obliczenia wysokości prostokąta aproksymującego:

abf(x)dxΔx(f(x0+x12)+f(x1+x22)+f(x2+x32)++f(xn2+xn12)+f(xn1+xn2))\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(\frac{x_{0} + x_{1}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{2} + x_{3}}{2} \right)}+\dots+f{\left(\frac{x_{n-2} + x_{n-1}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{n-1} + x_{n}}{2} \right)}\right)

gdzie Δx=ban\Delta x = \frac{b - a}{n}.

Mamy, że f(x)=sin4(x)+7f{\left(x \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(x \right)} + 7}, a=1a = 1, b=3b = 3 i n=4n = 4.

Dlatego Δx=314=12\Delta x = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}.

Podzielić przedział [1,3]\left[1, 3\right] na n=4n = 4 podprzedziały o długości Δx=12\Delta x = \frac{1}{2} z następującymi punktami końcowymi: a=1a = 1, 32\frac{3}{2}, 22, 52\frac{5}{2}, 3=b3 = b.

Teraz wystarczy obliczyć funkcję w punktach środkowych podprzedziałów.

f(x0+x12)=f(1+322)=f(54)=sin4(54)+72.794821922941848f{\left(\frac{x_{0} + x_{1}}{2} \right)} = f{\left(\frac{1 + \frac{3}{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{5}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{5}{4} \right)} + 7}\approx 2.794821922941848

f(x1+x22)=f(32+22)=f(74)=sin4(74)+72.817350905627184f{\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{\frac{3}{2} + 2}{2} \right)} = f{\left(\frac{7}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{7}{4} \right)} + 7}\approx 2.817350905627184

f(x2+x32)=f(2+522)=f(94)=sin4(94)+72.714130913751178f{\left(\frac{x_{2} + x_{3}}{2} \right)} = f{\left(\frac{2 + \frac{5}{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{9}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{9}{4} \right)} + 7}\approx 2.714130913751178

f(x3+x42)=f(52+32)=f(114)=sin4(114)+72.649758163512828f{\left(\frac{x_{3} + x_{4}}{2} \right)} = f{\left(\frac{\frac{5}{2} + 3}{2} \right)} = f{\left(\frac{11}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{11}{4} \right)} + 7}\approx 2.649758163512828

Na koniec wystarczy zsumować powyższe wartości i pomnożyć przez Δx=12\Delta x = \frac{1}{2}: 12(2.794821922941848+2.817350905627184+2.714130913751178+2.649758163512828)=5.488030952916519.\frac{1}{2} \left(2.794821922941848 + 2.817350905627184 + 2.714130913751178 + 2.649758163512828\right) = 5.488030952916519.

Odpowiedź

13sin4(x)+7dx5.488030952916519\int\limits_{1}^{3} \sqrt{\sin^{4}{\left(x \right)} + 7}\, dx\approx 5.488030952916519A