English | Deutsch | Español | Português | Français | Italiano | Українська
  1. Strona główna
  2. Kalkulatory
  3. Kalkulatory: Calculus III
  4. Kalkulator

Kalkulator krzywizny

Obliczanie krzywizny krok po kroku

Kalkulator znajdzie krzywiznę danej funkcji jawnej, parametrycznej lub wektorowej w danym punkcie, z pokazanymi krokami.

Powiązane kalkulatory: Kalkulator wektora binormalnego jednostki, Kalkulator skręcania

⟨\langle
,
,
⟩\rangle
Jeśli masz jawną funkcję y=f(x)y = f{\left(x \right)}, wprowadź ją jako xx, f(x)f{\left(x \right)}, 00. Na przykład krzywiznę y=x2y = x^{2} można znaleźć tutaj.
Pozostaw puste, jeśli nie potrzebujesz krzywizny w określonym punkcie.

Jeśli kalkulator nie obliczył czegoś lub zidentyfikowałeś błąd, lub masz sugestię / opinię, skontaktuj się z nami.

Twój wkład

Znaleźć krzywiznę r⃗(t)=⟨t,3t+1,t2−5⟩\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle t, 3 t + 1, t^{2} - 5\right\rangle.

Rozwiązanie

Znajdź pochodną r⃗(t)\mathbf{\vec{r}\left(t\right)}: r⃗′(t)=⟨1,3,2t⟩\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle 1, 3, 2 t\right\rangle (kroki można znaleźć w kalkulator pochodnych).

Znajdź wielkość r⃗′(t)\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}: ∣r⃗′(t)∣=4t2+10\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = \sqrt{4 t^{2} + 10} (kroki można znaleźć w kalkulator wielkości).

Znajdź pochodną r⃗′(t)\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}: r⃗′′(t)=⟨0,0,2⟩\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 0, 0, 2\right\rangle (kroki można znaleźć w kalkulator pochodnych).

Znajdź iloczyn krzyżowy: r⃗′(t)×r⃗′′(t)=⟨6,−2,0⟩\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 6, -2, 0\right\rangle (kroki można znaleźć w kalkulator iloczynu krzyżowego).

Znajdź wielkość r⃗′(t)×r⃗′′(t)\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}: ∣r⃗′(t)×r⃗′′(t)∣=210\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = 2 \sqrt{10} (kroki można znaleźć w kalkulator wielkości).

Wreszcie, krzywizna wynosi κ(t)=∣r⃗′(t)×r⃗′′(t)∣∣r⃗′(t)∣3=5(2t2+5)32.\kappa\left(t\right) = \frac{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert}}{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert}^{3}} = \frac{\sqrt{5}}{\left(2 t^{2} + 5\right)^{\frac{3}{2}}}.

Odpowiedź

Krzywizna wynosi κ(t)=5(2t2+5)32\kappa\left(t\right) = \frac{\sqrt{5}}{\left(2 t^{2} + 5\right)^{\frac{3}{2}}}A.