English | Deutsch | Español | Português | Français | Italiano | Українська
  1. Strona główna
  2. Kalkulatory
  3. Kalkulatory: Calculus III
  4. Kalkulator

Kalkulator jakobianów

Obliczanie jakobianu krok po kroku

Kalkulator znajdzie macierz Jacobiego zestawu funkcji i wyznacznik Jacobiego (jeśli to możliwe), z pokazanymi krokami.

Oddzielone przecinkami.
Pozostaw puste dla automatycznego wykrywania lub określ zmienne takie jak x,y (oddzielone przecinkami).

Jeśli kalkulator nie obliczył czegoś lub zidentyfikowałeś błąd, lub masz sugestię / opinię, skontaktuj się z nami.

Twój wkład

Obliczyć jakobian funkcji {x=rcos⁡(θ),y=rsin⁡(θ)}\left\{x = r \cos{\left(\theta \right)}, y = r \sin{\left(\theta \right)}\right\}.

Rozwiązanie

Macierz Jacobiego jest zdefiniowana w następujący sposób: J(x,y)(r,θ)=[∂x∂r∂x∂θ∂y∂r∂y∂θ].J{\left(x,y \right)}\left(r, \theta\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta}\\\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}\end{array}\right].

W naszym przypadku J(x,y)(r,θ)=[∂∂r(rcos⁡(θ))∂∂θ(rcos⁡(θ))∂∂r(rsin⁡(θ))∂∂θ(rsin⁡(θ))].J{\left(x,y \right)}\left(r, \theta\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial}{\partial r} \left(r \cos{\left(\theta \right)}\right) & \frac{\partial}{\partial \theta} \left(r \cos{\left(\theta \right)}\right)\\\frac{\partial}{\partial r} \left(r \sin{\left(\theta \right)}\right) & \frac{\partial}{\partial \theta} \left(r \sin{\left(\theta \right)}\right)\end{array}\right].

Znajdź pochodne (kroki można znaleźć w kalkulator pochodnych): J(x,y)(r,θ)=[cos⁡(θ)−rsin⁡(θ)sin⁡(θ)rcos⁡(θ)].J{\left(x,y \right)}\left(r, \theta\right) = \left[\begin{array}{cc}\cos{\left(\theta \right)} & - r \sin{\left(\theta \right)}\\\sin{\left(\theta \right)} & r \cos{\left(\theta \right)}\end{array}\right].

Wyznacznik jakobianowy jest wyznacznikiem macierzy jakobianowej: ∣cos⁡(θ)−rsin⁡(θ)sin⁡(θ)rcos⁡(θ)∣=r\left|\begin{array}{cc}\cos{\left(\theta \right)} & - r \sin{\left(\theta \right)}\\\sin{\left(\theta \right)} & r \cos{\left(\theta \right)}\end{array}\right| = r (kroki można znaleźć w kalkulator wyznaczników).

Odpowiedź

Macierz Jacobiego to [cos⁡(θ)−rsin⁡(θ)sin⁡(θ)rcos⁡(θ)]\left[\begin{array}{cc}\cos{\left(\theta \right)} & - r \sin{\left(\theta \right)}\\\sin{\left(\theta \right)} & r \cos{\left(\theta \right)}\end{array}\right]A.

Wyznacznikiem jakobianu jest rrA.