Mnożniki Lagrange'a Kalkulator

Zastosuj metodę mnożników Lagrange'a krok po kroku

Kalkulator spróbuje znaleźć maksima i minima funkcji dwóch lub trzech zmiennych, z uwzględnieniem podanych ograniczeń, przy użyciu metody mnożników Lagrange'a, z pokazanymi krokami.

Powiązany kalkulator: Kalkulator punktów krytycznych, ekstremów i punktów siodłowych

Opcjonalnie.

Jeśli kalkulator nie obliczył czegoś lub zidentyfikowałeś błąd, lub masz sugestię / opinię, skontaktuj się z nami.

Twój wkład

Znaleźć maksymalną i minimalną wartość f(x,y)=3x+4yf{\left(x,y \right)} = 3 x + 4 y z uwzględnieniem ograniczenia x2+y2=25x^{2} + y^{2} = 25.

Rozwiązanie

Uwaga! Ten kalkulator nie sprawdza warunków zastosowania metody mnożników Lagrange'a. Używaj go na własne ryzyko: odpowiedź może być nieprawidłowa.

Przepisz ograniczenie x2+y2=25x^{2} + y^{2} = 25 jako x2+y225=0x^{2} + y^{2} - 25 = 0.

Lagrangian: L(x,y,λ)=(3x+4y)+λ(x2+y225)L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right).

Znajdź wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu:

x((3x+4y)+λ(x2+y225))=2λx+3\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda x + 3 (kroki można znaleźć w kalkulator pochodnych cząstkowych).

y((3x+4y)+λ(x2+y225))=2λy+4\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda y + 4 (kroki można znaleźć w kalkulator pochodnych cząstkowych).

λ((3x+4y)+λ(x2+y225))=x2+y225\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = x^{2} + y^{2} - 25 (kroki można znaleźć w kalkulator pochodnych cząstkowych).

Następnie należy rozwiązać układ {Lx=0Ly=0Lλ=0\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}, lub {2λx+3=02λy+4=0x2+y225=0\begin{cases} 2 \lambda x + 3 = 0 \\ 2 \lambda y + 4 = 0 \\ x^{2} + y^{2} - 25 = 0 \end{cases}.

Układ ma następujące rozwiązania rzeczywiste: (x,y)=(3,4)\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right), (x,y)=(3,4)\left(x, y\right) = \left(3, 4\right).

f(3,4)=25f{\left(-3,-4 \right)} = -25

f(3,4)=25f{\left(3,4 \right)} = 25

Zatem minimalna wartość to 25-25, a maksymalna to 2525.

Odpowiedź

Maksimum

2525A na stronie (x,y)=(3,4)\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)A.

Minimum

25-25A na stronie (x,y)=(3,4)\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)A.