Kalkulator spróbuje znaleźć maksima i minima funkcji dwóch lub trzech zmiennych, z uwzględnieniem podanych ograniczeń, przy użyciu metody mnożników Lagrange'a, z pokazanymi krokami.
Powiązany kalkulator:
Kalkulator punktów krytycznych, ekstremów i punktów siodłowych
Rozwiązanie Uwaga! Ten kalkulator nie sprawdza warunków zastosowania metody mnożników Lagrange'a. Używaj go na własne ryzyko: odpowiedź może być nieprawidłowa.
Przepisz ograniczenie x 2 + y 2 = 25 x^{2} + y^{2} = 25 x 2 + y 2 = 25 jako x 2 + y 2 − 25 = 0 x^{2} + y^{2} - 25 = 0 x 2 + y 2 − 25 = 0 .
Lagrangian: L ( x , y , λ ) = ( 3 x + 4 y ) + λ ( x 2 + y 2 − 25 ) L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right) L ( x , y , λ ) = ( 3 x + 4 y ) + λ ( x 2 + y 2 − 25 ) .
Znajdź wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu:
∂ ∂ x ( ( 3 x + 4 y ) + λ ( x 2 + y 2 − 25 ) ) = 2 λ x + 3 \frac{\partial}{\partial x} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda x + 3 ∂ x ∂ ( ( 3 x + 4 y ) + λ ( x 2 + y 2 − 25 ) ) = 2 λ x + 3 (kroki można znaleźć w kalkulator pochodnych cząstkowych ).
∂ ∂ y ( ( 3 x + 4 y ) + λ ( x 2 + y 2 − 25 ) ) = 2 λ y + 4 \frac{\partial}{\partial y} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda y + 4 ∂ y ∂ ( ( 3 x + 4 y ) + λ ( x 2 + y 2 − 25 ) ) = 2 λ y + 4 (kroki można znaleźć w kalkulator pochodnych cząstkowych ).
∂ ∂ λ ( ( 3 x + 4 y ) + λ ( x 2 + y 2 − 25 ) ) = x 2 + y 2 − 25 \frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = x^{2} + y^{2} - 25 ∂ λ ∂ ( ( 3 x + 4 y ) + λ ( x 2 + y 2 − 25 ) ) = x 2 + y 2 − 25 (kroki można znaleźć w kalkulator pochodnych cząstkowych ).
Następnie należy rozwiązać układ { ∂ L ∂ x = 0 ∂ L ∂ y = 0 ∂ L ∂ λ = 0 \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ ∂ x ∂ L = 0 ∂ y ∂ L = 0 ∂ λ ∂ L = 0 , lub { 2 λ x + 3 = 0 2 λ y + 4 = 0 x 2 + y 2 − 25 = 0 \begin{cases} 2 \lambda x + 3 = 0 \\ 2 \lambda y + 4 = 0 \\ x^{2} + y^{2} - 25 = 0 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ 2 λ x + 3 = 0 2 λ y + 4 = 0 x 2 + y 2 − 25 = 0 .
Układ ma następujące rozwiązania rzeczywiste: ( x , y ) = ( − 3 , − 4 ) \left(x, y\right) = \left(-3, -4\right) ( x , y ) = ( − 3 , − 4 ) , ( x , y ) = ( 3 , 4 ) \left(x, y\right) = \left(3, 4\right) ( x , y ) = ( 3 , 4 ) .
f ( − 3 , − 4 ) = − 25 f{\left(-3,-4 \right)} = -25 f ( − 3 , − 4 ) = − 25
f ( 3 , 4 ) = 25 f{\left(3,4 \right)} = 25 f ( 3 , 4 ) = 25
Zatem minimalna wartość to − 25 -25 − 25 , a maksymalna to 25 25 25 .
Odpowiedź Maksimum 25 25 25 A na stronie ( x , y ) = ( 3 , 4 ) \left(x, y\right) = \left(3, 4\right) ( x , y ) = ( 3 , 4 ) A .
Minimum − 25 -25 − 25 A na stronie ( x , y ) = ( − 3 , − 4 ) \left(x, y\right) = \left(-3, -4\right) ( x , y ) = ( − 3 , − 4 ) A .