Mnożniki Lagrange'a Kalkulator

Znaleźć maksymalną i minimalną wartość $f{\left(x,y \right)} = 3 x + 4 y$ z uwzględnieniem ograniczenia $x^{2} + y^{2} = 25$.

Uwaga! Ten kalkulator nie sprawdza warunków zastosowania metody mnożników Lagrange'a. Używaj go na własne ryzyko: odpowiedź może być nieprawidłowa.

Przepisz ograniczenie $x^{2} + y^{2} = 25$ jako $x^{2} + y^{2} - 25 = 0$.

Lagrangian: $L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)$.

Znajdź wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu:

$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda x + 3$ (kroki można znaleźć w kalkulator pochodnych cząstkowych).

$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda y + 4$ (kroki można znaleźć w kalkulator pochodnych cząstkowych).

$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = x^{2} + y^{2} - 25$ (kroki można znaleźć w kalkulator pochodnych cząstkowych).

Następnie należy rozwiązać układ $\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$, lub $\begin{cases} 2 \lambda x + 3 = 0 \\ 2 \lambda y + 4 = 0 \\ x^{2} + y^{2} - 25 = 0 \end{cases}$.

Układ ma następujące rozwiązania rzeczywiste: $\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)$, $\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)$.

$f{\left(-3,-4 \right)} = -25$

$f{\left(3,4 \right)} = 25$

Zatem minimalna wartość to $-25$, a maksymalna to $25$.

Maksimum

$25$A na stronie $\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)$A.

Minimum

$-25$A na stronie $\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)$A.