English | Deutsch | Español | Português | Français | Italiano | Українська
  1. Strona główna
  2. Kalkulatory
  3. Kalkulatory: Calculus III
  4. Kalkulator

Kalkulator płaszczyzny stycznej

Znajdowanie płaszczyzn stycznych krok po kroku

Kalkulator spróbuje znaleźć płaszczyznę styczną do krzywej jawnej i niejawnej w danym punkcie, z pokazanymi krokami.

((
,
,
))

Jeśli kalkulator nie obliczył czegoś lub zidentyfikowałeś błąd, lub masz sugestię / opinię, skontaktuj się z nami.

Twój wkład

Oblicz płaszczyznę styczną do x2+y2+z2=14x^{2} + y^{2} + z^{2} = 14 na (x,y,z)=(1,3,2)\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right).

Rozwiązanie

Funkcję można przedstawić w postaci F(x,y,z)=0F{\left(x,y,z \right)} = 0, gdzie F(x,y,z)=x2+y2+z2−14F{\left(x,y,z \right)} = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14.

Znajdź pochodne cząstkowe.

∂∂x(F(x,y,z))=∂∂x(x2+y2+z2−14)=2x\frac{\partial}{\partial x} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 x (kroki można znaleźć w kalkulator pochodnych cząstkowych).

∂∂y(F(x,y,z))=∂∂y(x2+y2+z2−14)=2y\frac{\partial}{\partial y} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 y (kroki można znaleźć w kalkulator pochodnych cząstkowych).

∂∂z(F(x,y,z))=∂∂z(x2+y2+z2−14)=2z\frac{\partial}{\partial z} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial z} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 z (kroki można znaleźć w kalkulator pochodnych cząstkowych).

Oblicz pochodne w podanym punkcie.

∂∂x(x2+y2+z2−14)∣((x,y,z)=(1,3,2))=(2x)∣((x,y,z)=(1,3,2))=2\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 x\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 2

∂∂y(x2+y2+z2−14)∣((x,y,z)=(1,3,2))=(2y)∣((x,y,z)=(1,3,2))=6\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 y\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 6

∂∂z(x2+y2+z2−14)∣((x,y,z)=(1,3,2))=(2z)∣((x,y,z)=(1,3,2))=4\frac{\partial}{\partial z} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 z\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 4

Równanie płaszczyzny stycznej to ∂∂x(F(x,y,z))∣((x,y,z)=(x0,y0,z0))(x−x0)+∂∂y(F(x,y,z))∣((x,y,z)=(x0,y0,z0))(y−y0)+∂∂z(F(x,y,z))∣((x,y,z)=(x0,y0,z0))(z−z0)=0.\frac{\partial}{\partial x} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(x - x_{0}\right) + \frac{\partial}{\partial y} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(y - y_{0}\right) + \frac{\partial}{\partial z} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(z - z_{0}\right) = 0.

W naszym przypadku 2(x−1)+6(y−3)+4(z−2)=02 \left(x - 1\right) + 6 \left(y - 3\right) + 4 \left(z - 2\right) = 0.

Można to zapisać jako 2x+6y+4z=282 x + 6 y + 4 z = 28.

Lub prościej: z=−x2−3y2+7z = - \frac{x}{2} - \frac{3 y}{2} + 7.

Odpowiedź

Równanie płaszczyzny stycznej to z=−x2−3y2+7=−0.5x−1.5y+7z = - \frac{x}{2} - \frac{3 y}{2} + 7 = - 0.5 x - 1.5 y + 7A.