Kalkulator odwrotności macierzy

Oblicz $\left[\begin{array}{cc}2 & 1\\1 & 3\end{array}\right]^{-1}$ używając eliminacji Gaussa-Jordana.

Aby znaleźć macierz odwrotną, powiększ ją o macierz identyczności i wykonaj operacje na wierszach, próbując ustawić macierz identyczności po lewej stronie. Wtedy po prawej stronie będzie macierz odwrotna.

Macierz należy więc powiększyć o macierz tożsamości:

$\left[\begin{array}{cc|cc}2 & 1 & 1 & 0\\1 & 3 & 0 & 1\end{array}\right]$

Podziel wiersz $1$ przez $2$: $R_{1} = \frac{R_{1}}{2}$.

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\1 & 3 & 0 & 1\end{array}\right]$

Odejmij wiersz $1$ od wiersza $2$: $R_{2} = R_{2} - R_{1}$.

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\0 & \frac{5}{2} & - \frac{1}{2} & 1\end{array}\right]$

Pomnóż wiersz $2$ przez $\frac{2}{5}$: $R_{2} = \frac{2 R_{2}}{5}$.

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\0 & 1 & - \frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{array}\right]$

Odejmij wiersz $2$ pomnożony przez $\frac{1}{2}$ od wiersza $1$: $R_{1} = R_{1} - \frac{R_{2}}{2}$.

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & \frac{3}{5} & - \frac{1}{5}\\0 & 1 & - \frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{array}\right]$

Skończyliśmy. Po lewej stronie znajduje się macierz tożsamości. Po prawej stronie znajduje się macierz odwrotna.

Macierz odwrotna to $\left[\begin{array}{cc}\frac{3}{5} & - \frac{1}{5}\\- \frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0.6 & -0.2\\-0.2 & 0.4\end{array}\right].$A