Kalkulator dekompozycji LU

Znaleźć rozkład LU funkcji $\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\3 & -2 & 0\\1 & 5 & 3\end{array}\right]$.

Rozpocznij od macierzy tożsamości $L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right]$.

Odejmij wiersz $1$ pomnożony przez $\frac{3}{2}$ od wiersza $2$: $R_{2} = R_{2} - \frac{3 R_{1}}{2}$.

$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\1 & 5 & 3\end{array}\right]$

Zapisz współczynnik $\frac{3}{2}$ w macierzy $L$ w wierszu $2$, w kolumnie $1$:

$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right]$

Odejmij wiersz $1$ pomnożony przez $\frac{1}{2}$ od wiersza $3$: $R_{3} = R_{3} - \frac{R_{1}}{2}$.

$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\0 & \frac{3}{2} & \frac{5}{2}\end{array}\right]$

Zapisz współczynnik $\frac{1}{2}$ w macierzy $L$ w wierszu $3$, w kolumnie $1$:

$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\\frac{1}{2} & 0 & 1\end{array}\right]$

Dodaj wiersz $2$ pomnożony przez $\frac{3}{25}$ do wiersza $3$: $R_{3} = R_{3} + \frac{3 R_{2}}{25}$.

$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\0 & 0 & \frac{58}{25}\end{array}\right]$

Zapisz współczynnik $- \frac{3}{25}$ w macierzy $L$ w wierszu $3$, w kolumnie $2$:

$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\\frac{1}{2} & - \frac{3}{25} & 1\end{array}\right]$

Otrzymana macierz jest macierzą $U$.

$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\\frac{1}{2} & - \frac{3}{25} & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\1.5 & 1 & 0\\0.5 & -0.12 & 1\end{array}\right]$A

$U = \left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\0 & 0 & \frac{58}{25}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & -12.5 & -1.5\\0 & 0 & 2.32\end{array}\right]$A