English | Deutsch | Español | Português | Français | Italiano | Українська
  1. Strona główna
  2. Kalkulatory
  3. Kalkulatory: Algebra liniowa
  4. Algebra liniowa Kalkulator

Kalkulator faktoryzacji QR

Znajdź rozkład QR macierzy krok po kroku

Kalkulator znajdzie faktoryzację QR danej macierzy AA, tj. taką macierz ortogonalną (lub półortogonalną) QQ i macierz górnotrójkątną RR, że A=QRA=QR, z pokazanymi krokami.

Powiązany kalkulator: Kalkulator dekompozycji LU

×\times
A

Jeśli kalkulator nie obliczył czegoś lub zidentyfikowałeś błąd, lub masz sugestię / opinię, skontaktuj się z nami.

Twój wkład

Znaleźć faktoryzację QR dla [1351312−17]\left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & 5\\1 & 3 & 1\\2 & -1 & 7\end{array}\right].

Rozwiązanie

Ortonormalizacja zbioru wektorów utworzonych przez kolumny podanej macierzy: {[666663],[3333−33],[22−220]}\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{6}}{6}\\\frac{\sqrt{6}}{6}\\\frac{\sqrt{6}}{3}\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{3}}{3}\\\frac{\sqrt{3}}{3}\\- \frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\- \frac{\sqrt{2}}{2}\\0\end{array}\right]\right\} (kroki można znaleźć w Kalkulator Grama-Schmidta).

Kolumny macierzy QQ są ortonormalnymi wektorami: Q=[6633226633−2263−330].Q = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{6}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & 0\end{array}\right].

Znajdź transpozycję macierzy: QT=[6666633333−3322−220]Q^{T} = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{3}\\\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{3}\\\frac{\sqrt{2}}{2} & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0\end{array}\right] (kroki można znaleźć w kalkulator transpozycji macierzy).

Wreszcie, R=[6666633333−3322−220][1351312−17]=[626310630733−330022]R = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{3}\\\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{3}\\\frac{\sqrt{2}}{2} & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & 5\\1 & 3 & 1\\2 & -1 & 7\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}\sqrt{6} & \frac{2 \sqrt{6}}{3} & \frac{10 \sqrt{6}}{3}\\0 & \frac{7 \sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{3}\\0 & 0 & 2 \sqrt{2}\end{array}\right] (kroki, patrz kalkulator mnożenia macierzy).

Odpowiedź

Q=[6633226633−2263−330]≈[0.4082482904638630.5773502691896260.7071067811865480.4082482904638630.577350269189626−0.7071067811865480.816496580927726−0.5773502691896260]Q = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{6}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & 0\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}0.408248290463863 & 0.577350269189626 & 0.707106781186548\\0.408248290463863 & 0.577350269189626 & -0.707106781186548\\0.816496580927726 & -0.577350269189626 & 0\end{array}\right]A

R=[626310630733−330022]≈[2.4494897427831781.6329931618554528.1649658092772604.04145188432738−0.577350269189626002.82842712474619]R = \left[\begin{array}{ccc}\sqrt{6} & \frac{2 \sqrt{6}}{3} & \frac{10 \sqrt{6}}{3}\\0 & \frac{7 \sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{3}\\0 & 0 & 2 \sqrt{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}2.449489742783178 & 1.632993161855452 & 8.16496580927726\\0 & 4.04145188432738 & -0.577350269189626\\0 & 0 & 2.82842712474619\end{array}\right]A