Kalkulator znajdzie faktoryzację QR danej macierzy A A A , tj. taką macierz ortogonalną (lub półortogonalną) Q Q Q i macierz górnotrójkątną R R R , że A = Q R A=QR A = QR , z pokazanymi krokami.
Powiązany kalkulator:
Kalkulator dekompozycji LU
Rozwiązanie Ortonormalizacja zbioru wektorów utworzonych przez kolumny podanej macierzy: { [ 6 6 6 6 6 3 ] , [ 3 3 3 3 − 3 3 ] , [ 2 2 − 2 2 0 ] } \left\{\left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{6}}{6}\\\frac{\sqrt{6}}{6}\\\frac{\sqrt{6}}{3}\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{3}}{3}\\\frac{\sqrt{3}}{3}\\- \frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\- \frac{\sqrt{2}}{2}\\0\end{array}\right]\right\} ⎩ ⎨ ⎧ ⎣ ⎡ 6 6 6 6 3 6 ⎦ ⎤ , ⎣ ⎡ 3 3 3 3 − 3 3 ⎦ ⎤ , ⎣ ⎡ 2 2 − 2 2 0 ⎦ ⎤ ⎭ ⎬ ⎫ (kroki można znaleźć w Kalkulator Grama-Schmidta ).
Kolumny macierzy Q Q Q są ortonormalnymi wektorami: Q = [ 6 6 3 3 2 2 6 6 3 3 − 2 2 6 3 − 3 3 0 ] . Q = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{6}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & 0\end{array}\right]. Q = ⎣ ⎡ 6 6 6 6 3 6 3 3 3 3 − 3 3 2 2 − 2 2 0 ⎦ ⎤ .
Znajdź transpozycję macierzy: Q T = [ 6 6 6 6 6 3 3 3 3 3 − 3 3 2 2 − 2 2 0 ] Q^{T} = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{3}\\\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{3}\\\frac{\sqrt{2}}{2} & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0\end{array}\right] Q T = ⎣ ⎡ 6 6 3 3 2 2 6 6 3 3 − 2 2 3 6 − 3 3 0 ⎦ ⎤ (kroki można znaleźć w kalkulator transpozycji macierzy ).
Wreszcie, R = [ 6 6 6 6 6 3 3 3 3 3 − 3 3 2 2 − 2 2 0 ] [ 1 3 5 1 3 1 2 − 1 7 ] = [ 6 2 6 3 10 6 3 0 7 3 3 − 3 3 0 0 2 2 ] R = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{3}\\\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{3}\\\frac{\sqrt{2}}{2} & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & 5\\1 & 3 & 1\\2 & -1 & 7\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}\sqrt{6} & \frac{2 \sqrt{6}}{3} & \frac{10 \sqrt{6}}{3}\\0 & \frac{7 \sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{3}\\0 & 0 & 2 \sqrt{2}\end{array}\right] R = ⎣ ⎡ 6 6 3 3 2 2 6 6 3 3 − 2 2 3 6 − 3 3 0 ⎦ ⎤ ⎣ ⎡ 1 1 2 3 3 − 1 5 1 7 ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ 6 0 0 3 2 6 3 7 3 0 3 10 6 − 3 3 2 2 ⎦ ⎤ (kroki, patrz kalkulator mnożenia macierzy ).
Odpowiedź Q = [ 6 6 3 3 2 2 6 6 3 3 − 2 2 6 3 − 3 3 0 ] ≈ [ 0.408248290463863 0.577350269189626 0.707106781186548 0.408248290463863 0.577350269189626 − 0.707106781186548 0.816496580927726 − 0.577350269189626 0 ] Q = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{6}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & 0\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}0.408248290463863 & 0.577350269189626 & 0.707106781186548\\0.408248290463863 & 0.577350269189626 & -0.707106781186548\\0.816496580927726 & -0.577350269189626 & 0\end{array}\right] Q = ⎣ ⎡ 6 6 6 6 3 6 3 3 3 3 − 3 3 2 2 − 2 2 0 ⎦ ⎤ ≈ ⎣ ⎡ 0.408248290463863 0.408248290463863 0.816496580927726 0.577350269189626 0.577350269189626 − 0.577350269189626 0.707106781186548 − 0.707106781186548 0 ⎦ ⎤ A
R = [ 6 2 6 3 10 6 3 0 7 3 3 − 3 3 0 0 2 2 ] ≈ [ 2.449489742783178 1.632993161855452 8.16496580927726 0 4.04145188432738 − 0.577350269189626 0 0 2.82842712474619 ] R = \left[\begin{array}{ccc}\sqrt{6} & \frac{2 \sqrt{6}}{3} & \frac{10 \sqrt{6}}{3}\\0 & \frac{7 \sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{3}\\0 & 0 & 2 \sqrt{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}2.449489742783178 & 1.632993161855452 & 8.16496580927726\\0 & 4.04145188432738 & -0.577350269189626\\0 & 0 & 2.82842712474619\end{array}\right] R = ⎣ ⎡ 6 0 0 3 2 6 3 7 3 0 3 10 6 − 3 3 2 2 ⎦ ⎤ ≈ ⎣ ⎡ 2.449489742783178 0 0 1.632993161855452 4.04145188432738 0 8.16496580927726 − 0.577350269189626 2.82842712474619 ⎦ ⎤ A