Calculadora de derivadas

A calculadora on-line calculará a derivada de qualquer função usando as regras comuns de diferenciação (regra do produto, regra do quociente, regra da cadeia etc.), com as etapas mostradas. Ela pode lidar com funções polinomiais, racionais, irracionais, exponenciais, logarítmicas, trigonométricas, trigonométricas inversas, hiperbólicas e hiperbólicas inversas. Além disso, ele avaliará a derivada em um determinado ponto, se necessário. Ele também suporta o cálculo da primeira, segunda e terceira derivadas, até 10.

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Encontre $\frac{d}{dx} \left(x \sin{\left(2 x \right)}\right)$ .

Solução

Aplique a regra do produto $\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$ com $f{\left(x \right)} = x$ e $g{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$ :

{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x \sin{\left(2 x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) \sin{\left(2 x \right)} + x \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(2 x \right)}\right)\right)}

A função $\sin{\left(2 x \right)}$ é a composição $f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$ de duas funções $f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$ e $g{\left(x \right)} = 2 x$ .

Aplique a regra da cadeia $\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$ :

x {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(2 x \right)}\right)\right)} + \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{dx} \left(x\right) = x {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(2 x\right)\right)} + \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{dx} \left(x\right)

A derivada do seno é $\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) = \cos{\left(u \right)}$ :

x {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right) + \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{dx} \left(x\right) = x {\color{red}\left(\cos{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right) + \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{dx} \left(x\right)

Retornar à variável antiga:

x \cos{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right) + \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{dx} \left(x\right) = x \cos{\left({\color{red}\left(2 x\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right) + \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{dx} \left(x\right)

Aplique a regra múltipla constante $\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$ com $c = 2$ e $f{\left(x \right)} = x$ :

x \cos{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(2 x\right)\right)} + \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{dx} \left(x\right) = x \cos{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(2 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{dx} \left(x\right)

Aplique a regra de potência $\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$ com $n = 1$ , em outras palavras, $\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$ :

2 x \cos{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + \sin{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = 2 x \cos{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(1\right)} + \sin{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(1\right)}

Portanto, $\frac{d}{dx} \left(x \sin{\left(2 x \right)}\right) = 2 x \cos{\left(2 x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}$ .

Resposta

$\frac{d}{dx} \left(x \sin{\left(2 x \right)}\right) = 2 x \cos{\left(2 x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}$ A

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