Calculadora de derivadas

Calcular os derivados passo a passo

A calculadora on-line calculará a derivada de qualquer função usando as regras comuns de diferenciação (regra do produto, regra do quociente, regra da cadeia etc.), com as etapas mostradas. Ela pode lidar com funções polinomiais, racionais, irracionais, exponenciais, logarítmicas, trigonométricas, trigonométricas inversas, hiperbólicas e hiperbólicas inversas. Além disso, ele avaliará a derivada em um determinado ponto, se necessário. Ele também suporta o cálculo da primeira, segunda e terceira derivadas, até 10.

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Encontre ddx(xsin(2x))\frac{d}{dx} \left(x \sin{\left(2 x \right)}\right).

Solução

Aplique a regra do produto ddx(f(x)g(x))=ddx(f(x))g(x)+f(x)ddx(g(x))\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right) com f(x)=xf{\left(x \right)} = x e g(x)=sin(2x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}:

(ddx(xsin(2x)))=(ddx(x)sin(2x)+xddx(sin(2x))){\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x \sin{\left(2 x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) \sin{\left(2 x \right)} + x \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(2 x \right)}\right)\right)}

A função sin(2x)\sin{\left(2 x \right)} é a composição f(g(x))f{\left(g{\left(x \right)} \right)} de duas funções f(u)=sin(u)f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)} e g(x)=2xg{\left(x \right)} = 2 x.

Aplique a regra da cadeia ddx(f(g(x)))=ddu(f(u))ddx(g(x))\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right):

x(ddx(sin(2x)))+sin(2x)ddx(x)=x(ddu(sin(u))ddx(2x))+sin(2x)ddx(x)x {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(2 x \right)}\right)\right)} + \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{dx} \left(x\right) = x {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(2 x\right)\right)} + \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{dx} \left(x\right)

A derivada do seno é ddu(sin(u))=cos(u)\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) = \cos{\left(u \right)}:

x(ddu(sin(u)))ddx(2x)+sin(2x)ddx(x)=x(cos(u))ddx(2x)+sin(2x)ddx(x)x {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right) + \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{dx} \left(x\right) = x {\color{red}\left(\cos{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right) + \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{dx} \left(x\right)

Retornar à variável antiga:

xcos((u))ddx(2x)+sin(2x)ddx(x)=xcos((2x))ddx(2x)+sin(2x)ddx(x)x \cos{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right) + \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{dx} \left(x\right) = x \cos{\left({\color{red}\left(2 x\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right) + \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{dx} \left(x\right)

Aplique a regra múltipla constante ddx(cf(x))=cddx(f(x))\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) com c=2c = 2 e f(x)=xf{\left(x \right)} = x:

xcos(2x)(ddx(2x))+sin(2x)ddx(x)=xcos(2x)(2ddx(x))+sin(2x)ddx(x)x \cos{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(2 x\right)\right)} + \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{dx} \left(x\right) = x \cos{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(2 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{dx} \left(x\right)

Aplique a regra de potência ddx(xn)=nxn1\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1} com n=1n = 1, em outras palavras, ddx(x)=1\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1:

2xcos(2x)(ddx(x))+sin(2x)(ddx(x))=2xcos(2x)(1)+sin(2x)(1)2 x \cos{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + \sin{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = 2 x \cos{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(1\right)} + \sin{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(1\right)}

Portanto, ddx(xsin(2x))=2xcos(2x)+sin(2x)\frac{d}{dx} \left(x \sin{\left(2 x \right)}\right) = 2 x \cos{\left(2 x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}.

Resposta

ddx(xsin(2x))=2xcos(2x)+sin(2x)\frac{d}{dx} \left(x \sin{\left(2 x \right)}\right) = 2 x \cos{\left(2 x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}A