Derivada de $$$\sin^{3}{\left(x \right)}$$$
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Sua entrada
Encontre $$$\frac{d}{dx} \left(\sin^{3}{\left(x \right)}\right)$$$.
Solução
A função $$$\sin^{3}{\left(x \right)}$$$ é a composição $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de duas funções $$$f{\left(u \right)} = u^{3}$$$ e $$$g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$$$.
Aplique a regra da cadeia $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sin^{3}{\left(x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(u^{3}\right) \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)\right)}$$Aplique a regra de poder $$$\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1}$$$ com $$$n = 3$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(u^{3}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(3 u^{2}\right)} \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)$$Volte para a variável antiga:
$$3 {\color{red}\left(u\right)}^{2} \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right) = 3 {\color{red}\left(\sin{\left(x \right)}\right)}^{2} \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)$$A derivada do seno é $$$\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right) = \cos{\left(x \right)}$$$:
$$3 \sin^{2}{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)\right)} = 3 \sin^{2}{\left(x \right)} {\color{red}\left(\cos{\left(x \right)}\right)}$$Assim, $$$\frac{d}{dx} \left(\sin^{3}{\left(x \right)}\right) = 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$$$.
Responder
$$$\frac{d}{dx} \left(\sin^{3}{\left(x \right)}\right) = 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$$$A