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Derivado de 1−x2\sqrt{1 - x^{2}}

A calculadora encontrará a derivada de 1−x2\sqrt{1 - x^{2}}, com as etapas mostradas.

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Encontre ddx(1−x2)\frac{d}{dx} \left(\sqrt{1 - x^{2}}\right).

Solução

A função 1−x2\sqrt{1 - x^{2}} é a composição f(g(x))f{\left(g{\left(x \right)} \right)} de duas funções f(u)=uf{\left(u \right)} = \sqrt{u} e g(x)=1−x2g{\left(x \right)} = 1 - x^{2}.

Aplique a regra da cadeia ddx(f(g(x)))=ddu(f(u))ddx(g(x))\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right):

(ddx(1−x2))=(ddu(u)ddx(1−x2)){\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sqrt{1 - x^{2}}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sqrt{u}\right) \frac{d}{dx} \left(1 - x^{2}\right)\right)}

Aplique a regra de potência ddu(un)=nun−1\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1} com n=12n = \frac{1}{2}:

(ddu(u))ddx(1−x2)=(12u)ddx(1−x2){\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sqrt{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(1 - x^{2}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)} \frac{d}{dx} \left(1 - x^{2}\right)

Retornar à variável antiga:

ddx(1−x2)2(u)=ddx(1−x2)2(1−x2)\frac{\frac{d}{dx} \left(1 - x^{2}\right)}{2 \sqrt{{\color{red}\left(u\right)}}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(1 - x^{2}\right)}{2 \sqrt{{\color{red}\left(1 - x^{2}\right)}}}

A derivada de uma soma/diferença é a soma/diferença das derivadas:

(ddx(1−x2))21−x2=(ddx(1)−ddx(x2))21−x2\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1 - x^{2}\right)\right)}}{2 \sqrt{1 - x^{2}}} = \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right) - \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)\right)}}{2 \sqrt{1 - x^{2}}}

A derivada de uma constante é 00:

(ddx(1))−ddx(x2)21−x2=(0)−ddx(x2)21−x2\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right)\right)} - \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)}{2 \sqrt{1 - x^{2}}} = \frac{{\color{red}\left(0\right)} - \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)}{2 \sqrt{1 - x^{2}}}

Aplique a regra de potência ddx(xn)=nxn−1\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1} com n=2n = 2:

−(ddx(x2))21−x2=−(2x)21−x2- \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)\right)}}{2 \sqrt{1 - x^{2}}} = - \frac{{\color{red}\left(2 x\right)}}{2 \sqrt{1 - x^{2}}}

Portanto, ddx(1−x2)=−x1−x2\frac{d}{dx} \left(\sqrt{1 - x^{2}}\right) = - \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}.

Resposta

ddx(1−x2)=−x1−x2\frac{d}{dx} \left(\sqrt{1 - x^{2}}\right) = - \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}A

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