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Calculadora de diferenciação logarítmica

Calcular derivadas passo a passo usando logaritmos

A calculadora on-line calculará a derivada de qualquer função usando a diferenciação logarítmica, com as etapas mostradas. Além disso, ela avaliará a derivada em um determinado ponto, se necessário.

Calculadora relacionada: Calculadora de derivadas

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Encontre ddx(xsin⁡(x))\frac{d}{dx} \left(x^{\sin{\left(x \right)}}\right).

Solução

Seja H(x)=xsin⁡(x)H{\left(x \right)} = x^{\sin{\left(x \right)}}.

Pegue o logaritmo de ambos os lados: ln⁡(H(x))=ln⁡(xsin⁡(x))\ln\left(H{\left(x \right)}\right) = \ln\left(x^{\sin{\left(x \right)}}\right).

Reescreva o RHS usando as propriedades dos logaritmos: ln⁡(H(x))=ln⁡(x)sin⁡(x)\ln\left(H{\left(x \right)}\right) = \ln\left(x\right) \sin{\left(x \right)}.

Diferencie separadamente os dois lados da equação: ddx(ln⁡(H(x)))=ddx(ln⁡(x)sin⁡(x))\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right) \sin{\left(x \right)}\right).

Diferencie o LHS da equação.

A função ln⁡(H(x))\ln\left(H{\left(x \right)}\right) é a composição f(g(x))f{\left(g{\left(x \right)} \right)} de duas funções f(u)=ln⁡(u)f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right) e g(x)=H(x)g{\left(x \right)} = H{\left(x \right)}.

Aplique a regra da cadeia ddx(f(g(x)))=ddu(f(u))ddx(g(x))\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right):

(ddx(ln⁡(H(x))))=(ddu(ln⁡(u))ddx(H(x))){\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)\right)}

A derivada do logaritmo natural é ddu(ln⁡(u))=1u\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}:

(ddu(ln⁡(u)))ddx(H(x))=(1u)ddx(H(x)){\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)

Retornar à variável antiga:

ddx(H(x))(u)=ddx(H(x))(H(x))\frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(H{\left(x \right)}\right)}}

Portanto, ddx(ln⁡(H(x)))=ddx(H(x))H(x)\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{H{\left(x \right)}}.

Diferencie o RHS da equação.

Aplique a regra do produto ddx(f(x)g(x))=ddx(f(x))g(x)+f(x)ddx(g(x))\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right) com f(x)=ln⁡(x)f{\left(x \right)} = \ln\left(x\right) e g(x)=sin⁡(x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}:

(ddx(ln⁡(x)sin⁡(x)))=(ddx(ln⁡(x))sin⁡(x)+ln⁡(x)ddx(sin⁡(x))){\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right) \sin{\left(x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) \sin{\left(x \right)} + \ln\left(x\right) \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)\right)}

A derivada do seno é ddx(sin⁡(x))=cos⁡(x)\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right) = \cos{\left(x \right)}:

ln⁡(x)(ddx(sin⁡(x)))+sin⁡(x)ddx(ln⁡(x))=ln⁡(x)(cos⁡(x))+sin⁡(x)ddx(ln⁡(x))\ln\left(x\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)\right)} + \sin{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \ln\left(x\right) {\color{red}\left(\cos{\left(x \right)}\right)} + \sin{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)

A derivada do logaritmo natural é ddx(ln⁡(x))=1x\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}:

ln⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(x)(ddx(ln⁡(x)))=ln⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(x)(1x)\ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)} = \ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{1}{x}\right)}

Portanto, ddx(ln⁡(x)sin⁡(x))=ln⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(x)x\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right) \sin{\left(x \right)}\right) = \ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}.

Portanto, ddx(H(x))H(x)=ln⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(x)x\frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{H{\left(x \right)}} = \ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}.

Portanto, ddx(H(x))=(ln⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(x)x)H(x)=xsin⁡(x)−1(xln⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(x)).\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right) = \left(\ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right) H{\left(x \right)} = x^{\sin{\left(x \right)} - 1} \left(x \ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right).

Resposta

ddx(xsin⁡(x))=xsin⁡(x)−1(xln⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(x))\frac{d}{dx} \left(x^{\sin{\left(x \right)}}\right) = x^{\sin{\left(x \right)} - 1} \left(x \ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)A

Nota relacionada: Logarithmic Differentiation