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Segunda derivada de $$$\cos^{2}{\left(x \right)}$$$

A calculadora encontrará a segunda derivada de $$$\cos^{2}{\left(x \right)}$$$, com as etapas mostradas.

Calculadoras relacionadas: Calculadora de Derivativos, Calculadora de diferenciação logarítmica

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Encontre $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\cos^{2}{\left(x \right)}\right)$$$.

Solução

Encontre a primeira derivada $$$\frac{d}{dx} \left(\cos^{2}{\left(x \right)}\right)$$$

A função $$$\cos^{2}{\left(x \right)}$$$ é a composição $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de duas funções $$$f{\left(u \right)} = u^{2}$$$ e $$$g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$$$.

Aplique a regra da cadeia $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\cos^{2}{\left(x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(u^{2}\right) \frac{d}{dx} \left(\cos{\left(x \right)}\right)\right)}$$

Aplique a regra de poder $$$\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1}$$$ com $$$n = 2$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(u^{2}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\cos{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(2 u\right)} \frac{d}{dx} \left(\cos{\left(x \right)}\right)$$

Volte para a variável antiga:

$$2 {\color{red}\left(u\right)} \frac{d}{dx} \left(\cos{\left(x \right)}\right) = 2 {\color{red}\left(\cos{\left(x \right)}\right)} \frac{d}{dx} \left(\cos{\left(x \right)}\right)$$

A derivada do cosseno é $$$\frac{d}{dx} \left(\cos{\left(x \right)}\right) = - \sin{\left(x \right)}$$$:

$$2 \cos{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\cos{\left(x \right)}\right)\right)} = 2 \cos{\left(x \right)} {\color{red}\left(- \sin{\left(x \right)}\right)}$$

Simplificar:

$$- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(2 x \right)}$$

Assim, $$$\frac{d}{dx} \left(\cos^{2}{\left(x \right)}\right) = - \sin{\left(2 x \right)}$$$.

Em seguida, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(- \sin{\left(2 x \right)}\right)$$$

Aplique a regra múltipla constante $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ com $$$c = -1$$$ e $$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(- \sin{\left(2 x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(- \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(2 x \right)}\right)\right)}$$

A função $$$\sin{\left(2 x \right)}$$$ é a composição $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de duas funções $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ e $$$g{\left(x \right)} = 2 x$$$.

Aplique a regra da cadeia $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:

$$- {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(2 x \right)}\right)\right)} = - {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(2 x\right)\right)}$$

A derivada do seno é $$$\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) = \cos{\left(u \right)}$$$:

$$- {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right) = - {\color{red}\left(\cos{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right)$$

Volte para a variável antiga:

$$- \cos{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right) = - \cos{\left({\color{red}\left(2 x\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right)$$

Aplique a regra múltipla constante $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ com $$$c = 2$$$ e $$$f{\left(x \right)} = x$$$:

$$- \cos{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(2 x\right)\right)} = - \cos{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(2 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}$$

Aplique a regra de potência $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ com $$$n = 1$$$, ou seja, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:

$$- 2 \cos{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = - 2 \cos{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(1\right)}$$

Assim, $$$\frac{d}{dx} \left(- \sin{\left(2 x \right)}\right) = - 2 \cos{\left(2 x \right)}$$$.

Portanto, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\cos^{2}{\left(x \right)}\right) = - 2 \cos{\left(2 x \right)}$$$.

Responder

$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\cos^{2}{\left(x \right)}\right) = - 2 \cos{\left(2 x \right)}$$$A