Calculadora de aproximação do ponto final esquerdo para uma função

Aproximar uma integral (dada por uma função) usando os pontos de extremidade esquerda, passo a passo

Uma calculadora on-line para aproximar a integral definida usando os pontos finais à esquerda (a soma de Riemann à esquerda), com etapas mostradas.

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Aproxime a integral 04cos4(x)+2dx\int\limits_{0}^{4} \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}\, dx com n=5n = 5 usando a aproximação do ponto final esquerdo.

Solução

A soma de Riemann à esquerda (também conhecida como aproximação do ponto final esquerdo) usa o ponto final esquerdo de um subintervalo para calcular a altura do retângulo de aproximação:

abf(x)dxΔx(f(x0)+f(x1)+f(x2)++f(xn2)+f(xn1))\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{0} \right)} + f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-2} \right)} + f{\left(x_{n-1} \right)}\right)

onde Δx=ban\Delta x = \frac{b - a}{n}.

Temos que f(x)=cos4(x)+2f{\left(x \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}, a=0a = 0, b=4b = 4, e n=5n = 5.

Portanto, Δx=405=45\Delta x = \frac{4 - 0}{5} = \frac{4}{5}.

Divida o intervalo [0,4]\left[0, 4\right] em n=5n = 5 subintervalos de comprimento Δx=45\Delta x = \frac{4}{5} com os seguintes pontos finais: a=0a = 0, 45\frac{4}{5}, 85\frac{8}{5}, 125\frac{12}{5}, 165\frac{16}{5}, 4=b4 = b.

Agora, basta avaliar a função nos pontos de extremidade esquerda dos subintervalos.

f(x0)=f(0)=31.732050807568877f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = \sqrt{3}\approx 1.732050807568877

f(x1)=f(45)=cos4(45)+21.495196773630485f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(\frac{4}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{4}{5} \right)} + 2}\approx 1.495196773630485

f(x2)=f(85)=cos4(85)+21.414213819387789f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(\frac{8}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{8}{5} \right)} + 2}\approx 1.414213819387789

f(x3)=f(125)=cos4(125)+21.515144715776502f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(\frac{12}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{12}{5} \right)} + 2}\approx 1.515144715776502

f(x4)=f(165)=cos4(165)+21.730085700215823f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(\frac{16}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{16}{5} \right)} + 2}\approx 1.730085700215823

Por fim, basta somar os valores acima e multiplicar por Δx=45\Delta x = \frac{4}{5}: 45(1.732050807568877+1.495196773630485+1.414213819387789+1.515144715776502+1.730085700215823)=6.309353453263581.\frac{4}{5} \left(1.732050807568877 + 1.495196773630485 + 1.414213819387789 + 1.515144715776502 + 1.730085700215823\right) = 6.309353453263581.

Resposta

04cos4(x)+2dx6.309353453263581\int\limits_{0}^{4} \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}\, dx\approx 6.309353453263581A