Calculadora de aproximação do ponto final esquerdo para uma função

Aproxime a integral $\int\limits_{0}^{4} \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}\, dx$ com $n = 5$ usando a aproximação do ponto final esquerdo.

A soma de Riemann à esquerda (também conhecida como aproximação do ponto final esquerdo) usa o ponto final esquerdo de um subintervalo para calcular a altura do retângulo de aproximação:

$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{0} \right)} + f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-2} \right)} + f{\left(x_{n-1} \right)}\right)$

onde $\Delta x = \frac{b - a}{n}$.

Temos que $f{\left(x \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}$, $a = 0$, $b = 4$, e $n = 5$.

Portanto, $\Delta x = \frac{4 - 0}{5} = \frac{4}{5}$.

Divida o intervalo $\left[0, 4\right]$ em $n = 5$ subintervalos de comprimento $\Delta x = \frac{4}{5}$ com os seguintes pontos finais: $a = 0$, $\frac{4}{5}$, $\frac{8}{5}$, $\frac{12}{5}$, $\frac{16}{5}$, $4 = b$.

Agora, basta avaliar a função nos pontos de extremidade esquerda dos subintervalos.

$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = \sqrt{3}\approx 1.732050807568877$

$f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(\frac{4}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{4}{5} \right)} + 2}\approx 1.495196773630485$

$f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(\frac{8}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{8}{5} \right)} + 2}\approx 1.414213819387789$

$f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(\frac{12}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{12}{5} \right)} + 2}\approx 1.515144715776502$

$f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(\frac{16}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{16}{5} \right)} + 2}\approx 1.730085700215823$

Por fim, basta somar os valores acima e multiplicar por $\Delta x = \frac{4}{5}$: $\frac{4}{5} \left(1.732050807568877 + 1.495196773630485 + 1.414213819387789 + 1.515144715776502 + 1.730085700215823\right) = 6.309353453263581.$

$\int\limits_{0}^{4} \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}\, dx\approx 6.309353453263581$A