Calculadora de aproximação do ponto final direito para uma função

Aproximar uma integral (dada por uma função) usando os pontos de extremidade direita, passo a passo

Uma calculadora on-line para aproximar a integral definida usando os pontos finais corretos (a soma de Riemann correta), com etapas mostradas.

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Aproxime a integral 15sin5(x)+1dx\int\limits_{1}^{5} \sqrt{\sin^{5}{\left(x \right)} + 1}\, dx com n=4n = 4 usando a aproximação do ponto final direito.

Solução

A soma de Riemann à direita (também conhecida como aproximação do ponto final à direita) usa o ponto final à direita de um subintervalo para calcular a altura do retângulo aproximado:

abf(x)dxΔx(f(x1)+f(x2)+f(x3)++f(xn1)+f(xn))\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)} + f{\left(x_{3} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-1} \right)} + f{\left(x_{n} \right)}\right)

onde Δx=ban\Delta x = \frac{b - a}{n}.

Temos que f(x)=sin5(x)+1f{\left(x \right)} = \sqrt{\sin^{5}{\left(x \right)} + 1}, a=1a = 1, b=5b = 5, e n=4n = 4.

Portanto, Δx=514=1\Delta x = \frac{5 - 1}{4} = 1.

Divida o intervalo [1,5]\left[1, 5\right] em n=4n = 4 subintervalos de comprimento Δx=1\Delta x = 1 com os seguintes pontos finais: a=1a = 1, 22, 33, 44, 5=b5 = b.

Agora, basta avaliar a função nos pontos de extremidade direita dos subintervalos.

f(x1)=f(2)=sin5(2)+11.273431158532973f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(2 \right)} = \sqrt{\sin^{5}{\left(2 \right)} + 1}\approx 1.273431158532973

f(x2)=f(3)=sin5(3)+11.000027983813047f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(3 \right)} = \sqrt{\sin^{5}{\left(3 \right)} + 1}\approx 1.000027983813047

f(x3)=f(4)=sin5(4)+10.867027424870839f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(4 \right)} = \sqrt{\sin^{5}{\left(4 \right)} + 1}\approx 0.867027424870839

f(x4)=f(5)=sin5(5)+10.434954473370867f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(5 \right)} = \sqrt{\sin^{5}{\left(5 \right)} + 1}\approx 0.434954473370867

Por fim, basta somar os valores acima e multiplicar por Δx=1\Delta x = 1: 1(1.273431158532973+1.000027983813047+0.867027424870839+0.434954473370867)=3.575441040587726.1 \left(1.273431158532973 + 1.000027983813047 + 0.867027424870839 + 0.434954473370867\right) = 3.575441040587726.

Resposta

15sin5(x)+1dx3.575441040587726\int\limits_{1}^{5} \sqrt{\sin^{5}{\left(x \right)} + 1}\, dx\approx 3.575441040587726A