Calculadora de multiplicadores de Lagrange

Encontre os valores máximo e mínimo de $f{\left(x,y \right)} = 3 x + 4 y$ sujeito à restrição $x^{2} + y^{2} = 25$.

Atenção! Essa calculadora não verifica as condições para aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange. Use-a por sua própria conta e risco: a resposta pode estar incorreta.

Reescreva a restrição $x^{2} + y^{2} = 25$ como $x^{2} + y^{2} - 25 = 0$.

Forme o Lagrangiano: $L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)$.

Encontre todas as derivadas parciais de primeira ordem:

$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda x + 3$ (para ver as etapas, consulte calculadora de derivada parcial).

$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda y + 4$ (para ver as etapas, consulte calculadora de derivada parcial).

$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = x^{2} + y^{2} - 25$ (para ver as etapas, consulte calculadora de derivada parcial).

Em seguida, resolva o sistema $\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$, ou $\begin{cases} 2 \lambda x + 3 = 0 \\ 2 \lambda y + 4 = 0 \\ x^{2} + y^{2} - 25 = 0 \end{cases}$.

O sistema tem as seguintes soluções reais: $\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)$, $\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)$.

$f{\left(-3,-4 \right)} = -25$

$f{\left(3,4 \right)} = 25$

Portanto, o valor mínimo é $-25$, e o valor máximo é $25$.

Máximo

$25$A em $\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)$A.

Mínimo

$-25$A em $\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)$A.