Calculadora do componente tangencial da aceleração

Encontre o componente tangencial da aceleração passo a passo

A calculadora encontrará o componente tangencial da aceleração do objeto, descrito pela função de valor vetorial, no ponto fornecido, com as etapas mostradas.

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\langle \rangle
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Encontre o componente tangencial da aceleração para r(t)=t,t2,t3\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle t, t^{2}, t^{3}\right\rangle.

Solução

Encontre a derivada de r(t)\mathbf{\vec{r}\left(t\right)}: r(t)=1,2t,3t2\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle 1, 2 t, 3 t^{2}\right\rangle (para obter as etapas, consulte calculadora de derivada).

Encontre a magnitude de r(t)\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}: r(t)=9t4+4t2+1\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = \sqrt{9 t^{4} + 4 t^{2} + 1} (para obter as etapas, consulte calculadora de magnitude).

Encontre a derivada de r(t)\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}: r(t)=0,2,6t\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 0, 2, 6 t\right\rangle (para obter as etapas, consulte calculadora de derivada).

Encontre o produto escalar: r(t)r(t)=18t3+4t\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = 18 t^{3} + 4 t (para ver as etapas, consulte dot product calculator).

Por fim, o componente tangencial da aceleração é aT(t)=r(t)r(t)r(t)=18t3+4t9t4+4t2+1.a_T\left(t\right) = \frac{\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}}{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert}} = \frac{18 t^{3} + 4 t}{\sqrt{9 t^{4} + 4 t^{2} + 1}}.

Resposta

O componente tangencial da aceleração é aT(t)=18t3+4t9t4+4t2+1a_T\left(t\right) = \frac{18 t^{3} + 4 t}{\sqrt{9 t^{4} + 4 t^{2} + 1}}A.