Calculadora de torção

Calcular a torção passo a passo

A calculadora encontrará a torção da função de valor vetorial dada no ponto dado, com as etapas mostradas.

Calculadora relacionada: Calculadora de curvatura

\langle
,
,
\rangle
Deixe em branco se não precisar da torção em um ponto específico.

Se a calculadora não computou algo ou você identificou um erro, ou se tiver uma sugestão/feedback, entre em contato conosco.

Sua contribuição

Encontre a torção de r(t)=t2,t3,t\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle t^{2}, t^{3}, t\right\rangle.

Solução

Encontre a derivada de r(t)\mathbf{\vec{r}\left(t\right)}: r(t)=2t,3t2,1\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle 2 t, 3 t^{2}, 1\right\rangle (para obter as etapas, consulte calculadora de derivada).

Encontre a derivada de r(t)\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}: r(t)=2,6t,0\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 2, 6 t, 0\right\rangle (para obter as etapas, consulte calculadora de derivada).

Encontre o produto cruzado: r(t)×r(t)=6t,2,6t2\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle - 6 t, 2, 6 t^{2}\right\rangle (para obter as etapas, consulte calculadora de produto cruzado).

Encontre a magnitude de r(t)×r(t)\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}: r(t)×r(t)=29t4+9t2+1\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = 2 \sqrt{9 t^{4} + 9 t^{2} + 1} (para obter as etapas, consulte calculadora de magnitude).

Encontre a derivada de r(t)\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}: r(t)=0,6,0\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 0, 6, 0\right\rangle (para obter as etapas, consulte calculadora de derivada).

Encontre o produto escalar: (r(t)×r(t))r(t)=12\left(\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right)\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime\prime}\left(t\right)} = 12 (para ver as etapas, consulte dot product calculator).

Por fim, a torção é τ(t)=(r(t)×r(t))r(t)r(t)×r(t)2=39t4+9t2+1.\tau\left(t\right) = \frac{\left(\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right)\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime\prime}\left(t\right)}}{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert}^{2}} = \frac{3}{9 t^{4} + 9 t^{2} + 1}.

Resposta

A torção é τ(t)=39t4+9t2+1\tau\left(t\right) = \frac{3}{9 t^{4} + 9 t^{2} + 1}A.