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Calculadora de torção

Calcular a torção passo a passo

A calculadora encontrará a torção da função de valor vetorial dada no ponto dado, com as etapas mostradas.

Calculadora relacionada: Calculadora de curvatura

⟨\langle
,
,
⟩\rangle
Deixe em branco se não precisar da torção em um ponto específico.

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Sua contribuição

Encontre a torção de r⃗(t)=⟨t2,t3,t⟩\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle t^{2}, t^{3}, t\right\rangle.

Solução

Encontre a derivada de r⃗(t)\mathbf{\vec{r}\left(t\right)}: r⃗′(t)=⟨2t,3t2,1⟩\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle 2 t, 3 t^{2}, 1\right\rangle (para obter as etapas, consulte calculadora de derivada).

Encontre a derivada de r⃗′(t)\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}: r⃗′′(t)=⟨2,6t,0⟩\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 2, 6 t, 0\right\rangle (para obter as etapas, consulte calculadora de derivada).

Encontre o produto cruzado: r⃗′(t)×r⃗′′(t)=⟨−6t,2,6t2⟩\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle - 6 t, 2, 6 t^{2}\right\rangle (para obter as etapas, consulte calculadora de produto cruzado).

Encontre a magnitude de r⃗′(t)×r⃗′′(t)\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}: ∣r⃗′(t)×r⃗′′(t)∣=29t4+9t2+1\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = 2 \sqrt{9 t^{4} + 9 t^{2} + 1} (para obter as etapas, consulte calculadora de magnitude).

Encontre a derivada de r⃗′′(t)\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}: r⃗′′′(t)=⟨0,6,0⟩\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 0, 6, 0\right\rangle (para obter as etapas, consulte calculadora de derivada).

Encontre o produto escalar: (r⃗′(t)×r⃗′′(t))⋅r⃗′′′(t)=12\left(\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right)\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime\prime}\left(t\right)} = 12 (para ver as etapas, consulte dot product calculator).

Por fim, a torção é τ(t)=(r⃗′(t)×r⃗′′(t))⋅r⃗′′′(t)∣r⃗′(t)×r⃗′′(t)∣2=39t4+9t2+1.\tau\left(t\right) = \frac{\left(\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right)\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime\prime}\left(t\right)}}{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert}^{2}} = \frac{3}{9 t^{4} + 9 t^{2} + 1}.

Resposta

A torção é τ(t)=39t4+9t2+1\tau\left(t\right) = \frac{3}{9 t^{4} + 9 t^{2} + 1}A.