Calculadora da lei dos senos

Resolver triângulos usando a lei dos senos

A calculadora resolverá o triângulo dado usando a lei dos senos (sempre que possível), com as etapas mostradas.

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Resolva o triângulo, se b=3b = 3, A=60A = 60^{\circ}, B=45B = 45^{\circ}.

Solução

De acordo com a lei dos senos: asin(A)=bsin(B)\frac{a}{\sin{\left(A \right)}} = \frac{b}{\sin{\left(B \right)}}.

Em nosso caso, asin(60)=3sin(45)\frac{a}{\sin{\left(60^{\circ} \right)}} = \frac{3}{\sin{\left(45^{\circ} \right)}}.

Portanto, a=3sin(60)sin(45)=362a = \frac{3 \sin{\left(60^{\circ} \right)}}{\sin{\left(45^{\circ} \right)}} = \frac{3 \sqrt{6}}{2}.

O terceiro ângulo é C=180(A+B)C = 180^{\circ} - \left(A + B\right).

Em nosso caso, C=180(60+45)=75C = 180^{\circ} - \left(60^{\circ} + 45^{\circ}\right) = 75^{\circ}.

De acordo com a lei dos senos: csin(C)=bsin(B)\frac{c}{\sin{\left(C \right)}} = \frac{b}{\sin{\left(B \right)}}.

Em nosso caso, csin(75)=3sin(45)\frac{c}{\sin{\left(75^{\circ} \right)}} = \frac{3}{\sin{\left(45^{\circ} \right)}}.

Portanto, c=3sin(75)sin(45)=3(1+3)2c = \frac{3 \sin{\left(75^{\circ} \right)}}{\sin{\left(45^{\circ} \right)}} = \frac{3 \left(1 + \sqrt{3}\right)}{2}.

A área é S=12absin(C)=(12)(362)(3)(sin(75))=9(3+3)8.S = \frac{1}{2} a b \sin{\left(C \right)} = \left(\frac{1}{2}\right)\cdot \left(\frac{3 \sqrt{6}}{2}\right)\cdot \left(3\right)\cdot \left(\sin{\left(75^{\circ} \right)}\right) = \frac{9 \left(\sqrt{3} + 3\right)}{8}.

O perímetro é P=a+b+c=362+3+3(1+3)2=3(3+6+3)2P = a + b + c = \frac{3 \sqrt{6}}{2} + 3 + \frac{3 \left(1 + \sqrt{3}\right)}{2} = \frac{3 \left(\sqrt{3} + \sqrt{6} + 3\right)}{2}.

Resposta

a=3623.674234614174767a = \frac{3 \sqrt{6}}{2}\approx 3.674234614174767A

b=3b = 3A

c=3(1+3)24.098076211353316c = \frac{3 \left(1 + \sqrt{3}\right)}{2}\approx 4.098076211353316A

A=60A = 60^{\circ}A

B=45B = 45^{\circ}A

C=75C = 75^{\circ}A

Área: S=9(3+3)85.323557158514987S = \frac{9 \left(\sqrt{3} + 3\right)}{8}\approx 5.323557158514987A.

Perímetro: P=3(3+6+3)210.772310825528083P = \frac{3 \left(\sqrt{3} + \sqrt{6} + 3\right)}{2}\approx 10.772310825528083A.