Calculadora do método Simplex

A calculadora resolverá o problema de otimização fornecido usando o algoritmo simplex. Ela adicionará variáveis de folga, excedentes e artificiais, se necessário. No caso de variáveis artificiais, o método Big M ou o método de duas fases é usado para determinar a solução inicial. As etapas estão disponíveis.

Função objetiva:

Maximizar?

Restrições:

Separado por vírgulas.

Todas as variáveis são não negativas?

Método de solução inicial artificial:

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Maximize $Z = 3 x_{1} + 4 x_{2}$ , sujeito a $\begin{cases} x_{1} + 2 x_{2} \leq 8 \\ x_{1} + x_{2} \leq 6 \\ x_{1} \geq 0 \\ x_{2} \geq 0 \end{cases}$ .

Solução

O problema na forma canônica pode ser escrito da seguinte forma:

Z = 3 x_{1} + 4 x_{2} \to max

\begin{cases} x_{1} + 2 x_{2} \leq 8 \\ x_{1} + x_{2} \leq 6 \\ x_{1}, x_{2} \geq 0 \end{cases}

Adicione variáveis (folga ou excedente) para transformar todas as desigualdades em igualdades:

Z = 3 x_{1} + 4 x_{2} \to max

\begin{cases} x_{1} + 2 x_{2} + S_{1} = 8 \\ x_{1} + x_{2} + S_{2} = 6 \\ x_{1}, x_{2}, S_{1}, S_{2} \geq 0 \end{cases}

Escreva a tabela simplex:

Basic	$x_{1}$	$x_{2}$	$S_{1}$	$S_{2}$	Solução
$Z$	$-3$	$-4$	$0$	$0$	$0$
$S_{1}$	$1$	$2$	$1$	$0$	$8$
$S_{2}$	$1$	$1$	$0$	$1$	$6$

A variável de entrada é $x_{2}$ , porque ela tem o coeficiente mais negativo $-4$ na linha Z.

Basic	$x_{1}$	$x_{2}$	$S_{1}$	$S_{2}$	Solução	Ratio
$Z$	$-3$	$-4$	$0$	$0$	$0$
$S_{1}$	$1$	$2$	$1$	$0$	$8$	$\frac{8}{2} = 4$
$S_{2}$	$1$	$1$	$0$	$1$	$6$	$\frac{6}{1} = 6$

A variável de saída é $S_{1}$ , porque ela tem a menor proporção.

Divida a linha $1$ por $2$ : $R_{1} = \frac{R_{1}}{2}$ .

Basic	$x_{1}$	$x_{2}$	$S_{1}$	$S_{2}$	Solução
$Z$	$-3$	$-4$	$0$	$0$	$0$
$x_{2}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$\frac{1}{2}$	$0$	$4$
$S_{2}$	$1$	$1$	$0$	$1$	$6$

Adicione a linha $2$ multiplicada por $4$ à linha $1$ : $R_{1} = R_{1} + 4 R_{2}$ .

Basic	$x_{1}$	$x_{2}$	$S_{1}$	$S_{2}$	Solução
$Z$	$-1$	$0$	$2$	$0$	$16$
$x_{2}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$\frac{1}{2}$	$0$	$4$
$S_{2}$	$1$	$1$	$0$	$1$	$6$

Subtraia a linha $2$ da linha $3$ : $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ .

Basic	$x_{1}$	$x_{2}$	$S_{1}$	$S_{2}$	Solução
$Z$	$-1$	$0$	$2$	$0$	$16$
$x_{2}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$\frac{1}{2}$	$0$	$4$
$S_{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- \frac{1}{2}$	$1$	$2$

A variável de entrada é $x_{1}$ , porque ela tem o coeficiente mais negativo $-1$ na linha Z.

Basic	$x_{1}$	$x_{2}$	$S_{1}$	$S_{2}$	Solução	Ratio
$Z$	$-1$	$0$	$2$	$0$	$16$
$x_{2}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$\frac{1}{2}$	$0$	$4$	$\frac{4}{\frac{1}{2}} = 8$
$S_{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- \frac{1}{2}$	$1$	$2$	$\frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$

A variável de saída é $S_{2}$ , porque ela tem a menor proporção.

Multiplique a linha $2$ por $2$ : $R_{2} = 2 R_{2}$ .

Basic	$x_{1}$	$x_{2}$	$S_{1}$	$S_{2}$	Solução
$Z$	$-1$	$0$	$2$	$0$	$16$
$x_{2}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$\frac{1}{2}$	$0$	$4$
$x_{1}$	$1$	$0$	$-1$	$2$	$4$

Adicione a linha $3$ à linha $1$ : $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ .

Basic	$x_{1}$	$x_{2}$	$S_{1}$	$S_{2}$	Solução
$Z$	$0$	$0$	$1$	$2$	$20$
$x_{2}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$\frac{1}{2}$	$0$	$4$
$x_{1}$	$1$	$0$	$-1$	$2$	$4$

Subtraia a linha $3$ multiplicada por $\frac{1}{2}$ da linha $2$ : $R_{2} = R_{2} - \frac{R_{3}}{2}$ .

Basic	$x_{1}$	$x_{2}$	$S_{1}$	$S_{2}$	Solução
$Z$	$0$	$0$	$1$	$2$	$20$
$x_{2}$	$0$	$1$	$1$	$-1$	$2$
$x_{1}$	$1$	$0$	$-1$	$2$	$4$

Nenhum dos coeficientes da linha Z é negativo.

O ideal é alcançado.

A seguinte solução é obtida: $\left(x_{1}, x_{2}, S_{1}, S_{2}\right) = \left(4, 2, 0, 0\right)$ .

Resposta

$Z = 20$ A é obtido em $\left(x_{1}, x_{2}\right) = \left(4, 2\right)$ A.

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