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Derivado de ln⁡(x+1)\ln\left(x + 1\right)

A calculadora encontrará a derivada de ln⁡(x+1)\ln\left(x + 1\right), com as etapas mostradas.

Calculadora relacionada: Calculadora de derivadas

Solução

A função ln⁡(x+1)\ln\left(x + 1\right) é a composição f(g(x))f{\left(g{\left(x \right)} \right)} de duas funções f(u)=ln⁡(u)f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right) e g(x)=x+1g{\left(x \right)} = x + 1.

Aplique a regra da cadeia ddx(f(g(x)))=ddu(f(u))ddx(g(x))\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right):

(ddx(ln⁡(x+1)))=(ddu(ln⁡(u))ddx(x+1)){\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x + 1\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(x + 1\right)\right)}

A derivada do logaritmo natural é ddu(ln⁡(u))=1u\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}:

(ddu(ln⁡(u)))ddx(x+1)=(1u)ddx(x+1){\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(x + 1\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(x + 1\right)

Retornar à variável antiga:

ddx(x+1)(u)=ddx(x+1)(x+1)\frac{\frac{d}{dx} \left(x + 1\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(x + 1\right)}{{\color{red}\left(x + 1\right)}}

A derivada de uma soma/diferença é a soma/diferença das derivadas:

(ddx(x+1))x+1=(ddx(x)+ddx(1))x+1\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x + 1\right)\right)}}{x + 1} = \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) + \frac{d}{dx} \left(1\right)\right)}}{x + 1}

A derivada de uma constante é 00:

(ddx(1))+ddx(x)x+1=(0)+ddx(x)x+1\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(x\right)}{x + 1} = \frac{{\color{red}\left(0\right)} + \frac{d}{dx} \left(x\right)}{x + 1}

Aplique a regra de potência ddx(xn)=nxn−1\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1} com n=1n = 1, em outras palavras, ddx(x)=1\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1:

(ddx(x))x+1=(1)x+1\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}}{x + 1} = \frac{{\color{red}\left(1\right)}}{x + 1}

Portanto, ddx(ln⁡(x+1))=1x+1\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x + 1\right)\right) = \frac{1}{x + 1}.

Resposta

ddx(ln⁡(x+1))=1x+1\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x + 1\right)\right) = \frac{1}{x + 1}A