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Derivado de esin⁡(x)e^{\sin{\left(x \right)}}

A calculadora encontrará a derivada de esin⁡(x)e^{\sin{\left(x \right)}}, com as etapas mostradas.

Calculadora relacionada: Calculadora de derivadas

Solução

A função esin⁡(x)e^{\sin{\left(x \right)}} é a composição f(g(x))f{\left(g{\left(x \right)} \right)} de duas funções f(u)=euf{\left(u \right)} = e^{u} e g(x)=sin⁡(x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

Aplique a regra da cadeia ddx(f(g(x)))=ddu(f(u))ddx(g(x))\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right):

(ddx(esin⁡(x)))=(ddu(eu)ddx(sin⁡(x))){\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e^{\sin{\left(x \right)}}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)\right)}

A derivada da exponencial é ddu(eu)=eu\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}:

(ddu(eu))ddx(sin⁡(x))=(eu)ddx(sin⁡(x)){\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)

Retornar à variável antiga:

e(u)ddx(sin⁡(x))=e(sin⁡(x))ddx(sin⁡(x))e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right) = e^{{\color{red}\left(\sin{\left(x \right)}\right)}} \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)

A derivada do seno é ddx(sin⁡(x))=cos⁡(x)\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right) = \cos{\left(x \right)}:

esin⁡(x)(ddx(sin⁡(x)))=esin⁡(x)(cos⁡(x))e^{\sin{\left(x \right)}} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)\right)} = e^{\sin{\left(x \right)}} {\color{red}\left(\cos{\left(x \right)}\right)}

Portanto, ddx(esin⁡(x))=esin⁡(x)cos⁡(x)\frac{d}{dx} \left(e^{\sin{\left(x \right)}}\right) = e^{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}.

Resposta

ddx(esin⁡(x))=esin⁡(x)cos⁡(x)\frac{d}{dx} \left(e^{\sin{\left(x \right)}}\right) = e^{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}A