Калькулятор похідних

Розраховуйте похідні крок за кроком

Онлайн-калькулятор обчислить похідну будь-якої функції, використовуючи загальні правила диференціювання (правило добутку, правило частки, правило ланцюга і т.д.), з показом кроків. Він може працювати з поліноміальними, раціональними, ірраціональними, показниковими, логарифмічними, тригонометричними, оберненими тригонометричними, гіперболічними та оберненими гіперболічними функціями. Також, якщо потрібно, він обчислить похідну в заданій точці. Він також підтримує обчислення першої, другої та третьої похідних, до 10.

Пов'язані калькулятори: Калькулятор логарифмічного диференціювання, Калькулятор неявного диференціювання з кроками

Залиште порожнім для автоматичного визначення.
Залиште порожнім, якщо вам не потрібна похідна в певній точці.

Якщо калькулятор щось не розрахував або ви виявили помилку, або у вас є пропозиція/відгук, будь ласка, зв'яжіться з нами.

Ваш запит

Знайдіть ddx(xsin(2x))\frac{d}{dx} \left(x \sin{\left(2 x \right)}\right).

Розв'язок

Застосуйте правило продукту ddx(f(x)g(x))=ddx(f(x))g(x)+f(x)ddx(g(x))\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right) до f(x)=xf{\left(x \right)} = x та g(x)=sin(2x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}:

(ddx(xsin(2x)))=(ddx(x)sin(2x)+xddx(sin(2x))){\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x \sin{\left(2 x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) \sin{\left(2 x \right)} + x \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(2 x \right)}\right)\right)}

Функція sin(2x)\sin{\left(2 x \right)} є композицією f(g(x))f{\left(g{\left(x \right)} \right)} двох функцій f(u)=sin(u)f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)} та g(x)=2xg{\left(x \right)} = 2 x.

Застосуйте правило ланцюжка ddx(f(g(x)))=ddu(f(u))ddx(g(x))\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right):

x(ddx(sin(2x)))+sin(2x)ddx(x)=x(ddu(sin(u))ddx(2x))+sin(2x)ddx(x)x {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(2 x \right)}\right)\right)} + \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{dx} \left(x\right) = x {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(2 x\right)\right)} + \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{dx} \left(x\right)

Похідною синуса є ddu(sin(u))=cos(u)\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) = \cos{\left(u \right)}:

x(ddu(sin(u)))ddx(2x)+sin(2x)ddx(x)=x(cos(u))ddx(2x)+sin(2x)ddx(x)x {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right) + \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{dx} \left(x\right) = x {\color{red}\left(\cos{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right) + \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{dx} \left(x\right)

Повернутися до старої змінної:

xcos((u))ddx(2x)+sin(2x)ddx(x)=xcos((2x))ddx(2x)+sin(2x)ddx(x)x \cos{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right) + \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{dx} \left(x\right) = x \cos{\left({\color{red}\left(2 x\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right) + \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{dx} \left(x\right)

Застосуйте правило постійного множення ddx(cf(x))=cddx(f(x))\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) до c=2c = 2 та f(x)=xf{\left(x \right)} = x:

xcos(2x)(ddx(2x))+sin(2x)ddx(x)=xcos(2x)(2ddx(x))+sin(2x)ddx(x)x \cos{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(2 x\right)\right)} + \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{dx} \left(x\right) = x \cos{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(2 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + \sin{\left(2 x \right)} \frac{d}{dx} \left(x\right)

Застосуйте степеневе правило ddx(xn)=nxn1\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1} з n=1n = 1, іншими словами, ddx(x)=1\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1:

2xcos(2x)(ddx(x))+sin(2x)(ddx(x))=2xcos(2x)(1)+sin(2x)(1)2 x \cos{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + \sin{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = 2 x \cos{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(1\right)} + \sin{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(1\right)}

Так, ddx(xsin(2x))=2xcos(2x)+sin(2x)\frac{d}{dx} \left(x \sin{\left(2 x \right)}\right) = 2 x \cos{\left(2 x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}.

Відповідь

ddx(xsin(2x))=2xcos(2x)+sin(2x)\frac{d}{dx} \left(x \sin{\left(2 x \right)}\right) = 2 x \cos{\left(2 x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}A