Похідна від tan(x/2)

Калькулятор знайде похідну від

\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}

, з показаними кроками.

Пов'язані калькулятори: Калькулятор логарифмічного диференціювання, Калькулятор неявного диференціювання з кроками

Функція:

Кількість разів для диференціації:

Змінна:

Залиште порожнім для автоматичного визначення.

Точка.:

Залиште порожнім, якщо вам не потрібна похідна в певній точці.

Якщо калькулятор щось не розрахував або ви виявили помилку, або у вас є пропозиція/відгук, будь ласка, зв'яжіться з нами.

Ваш запит

Знайдіть $\frac{d}{dx} \left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)$ .

Розв'язок

Функція $\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$ є композицією $f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$ двох функцій $f{\left(u \right)} = \tan{\left(u \right)}$ та $g{\left(x \right)} = \frac{x}{2}$ .

Застосуйте правило ланцюжка $\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$ :

{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\tan{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2}\right)\right)}

Похідна дотичної дорівнює $\frac{d}{du} \left(\tan{\left(u \right)}\right) = \sec^{2}{\left(u \right)}$ :

{\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\tan{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2}\right) = {\color{red}\left(\sec^{2}{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2}\right)

Повернутися до старої змінної:

\sec^{2}{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2}\right) = \sec^{2}{\left({\color{red}\left(\frac{x}{2}\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2}\right)

Застосуйте правило постійного множення $\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$ до $c = \frac{1}{2}$ та $f{\left(x \right)} = x$ :

\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2}\right)\right)} = \sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} {\color{red}\left(\frac{\frac{d}{dx} \left(x\right)}{2}\right)}

Застосуйте степеневе правило $\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$ з $n = 1$ , іншими словами, $\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$ :

\frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}}{2} = \frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} {\color{red}\left(1\right)}}{2}

Спростити:

\frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} = \frac{1}{\cos{\left(x \right)} + 1}

Так, $\frac{d}{dx} \left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = \frac{1}{\cos{\left(x \right)} + 1}$ .

Відповідь

$\frac{d}{dx} \left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = \frac{1}{\cos{\left(x \right)} + 1}$ A

Похідна від tan⁡(x2)\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}tan(2x​)

Ваш запит

Розв'язок

Відповідь

Похідна від $\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$