Калькулятор логарифмічного диференціювання

Онлайн калькулятор обчислить похідну будь-якої функції, використовуючи логарифмічне диференціювання, з показом кроків. Також, за необхідності, він обчислить похідну в заданій точці.

Пов'язаний калькулятор: Калькулятор похідних

Функція:

Змінна:

Залиште порожнім для автоматичного визначення.

Точка.:

Залиште порожнім, якщо вам не потрібна похідна в певній точці.

Якщо калькулятор щось не розрахував або ви виявили помилку, або у вас є пропозиція/відгук, будь ласка, зв'яжіться з нами.

Ваш запит

Знайдіть $\frac{d}{dx} \left(x^{\sin{\left(x \right)}}\right)$ .

Розв'язок

Нехай $H{\left(x \right)} = x^{\sin{\left(x \right)}}$ .

Візьміть логарифм обох сторін: $\ln\left(H{\left(x \right)}\right) = \ln\left(x^{\sin{\left(x \right)}}\right)$ .

Перепишіть RHS, використовуючи властивості логарифмів: $\ln\left(H{\left(x \right)}\right) = \ln\left(x\right) \sin{\left(x \right)}$ .

Окремо диференціюйте обидві частини рівняння: $\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right) \sin{\left(x \right)}\right)$ .

Продиференціюємо LHS рівняння.

Функція $\ln\left(H{\left(x \right)}\right)$ є композицією $f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$ двох функцій $f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$ та $g{\left(x \right)} = H{\left(x \right)}$ .

Застосуйте правило ланцюжка $\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$ :

{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)\right)}

Похідна натурального логарифма – це $\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$ :

{\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)

Повернутися до старої змінної:

\frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(H{\left(x \right)}\right)}}

Так, $\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{H{\left(x \right)}}$ .

Продиференціюємо праві частини рівняння.

Застосуйте правило продукту $\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$ до $f{\left(x \right)} = \ln\left(x\right)$ та $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ :

{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right) \sin{\left(x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) \sin{\left(x \right)} + \ln\left(x\right) \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)\right)}

Похідною синуса є $\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right) = \cos{\left(x \right)}$ :

\ln\left(x\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)\right)} + \sin{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \ln\left(x\right) {\color{red}\left(\cos{\left(x \right)}\right)} + \sin{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)

Похідна натурального логарифма – це $\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}$ :

\ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)} = \ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{1}{x}\right)}

Так, $\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right) \sin{\left(x \right)}\right) = \ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}$ .

Звідси $\frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{H{\left(x \right)}} = \ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}$ .

Тому $\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right) = \left(\ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right) H{\left(x \right)} = x^{\sin{\left(x \right)} - 1} \left(x \ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right).$

Відповідь

$\frac{d}{dx} \left(x^{\sin{\left(x \right)}}\right) = x^{\sin{\left(x \right)} - 1} \left(x \ln\left(x\right) \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)$ A

Калькулятор логарифмічного диференціювання

Обчислюйте похідні крок за кроком за допомогою логарифмів

Ваш запит

Розв'язок

Відповідь