Калькулятор критичних точок, екстремумів та сідлових точок

Знайдіть і класифікуйте критичні точки $f{\left(x,y \right)} = 2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2$.

Перший крок – знайти всі часткові похідні першого порядку:

$\frac{\partial}{\partial x} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 4 x \left(y - 1\right)$ (кроки див. у калькулятор частинних похідних).

$\frac{\partial}{\partial y} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 2 x^{2} + 3 y^{2} - 4 y$ (кроки див. у калькулятор частинних похідних).

Далі розв'яжіть систему $\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$, або $\begin{cases} 4 x \left(y - 1\right) = 0 \\ 2 x^{2} + 3 y^{2} - 4 y = 0 \end{cases}$.

Система має такі реальні рішення: $\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$, $\left(x, y\right) = \left(0, \frac{4}{3}\right)$, $\left(x, y\right) = \left(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$, $\left(x, y\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$.

Тепер спробуємо їх класифікувати.

Знайдіть усі частинні похідні другого порядку:

$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 4 y - 4$ (кроки див. у калькулятор частинних похідних).

$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 4 x$ (кроки див. у калькулятор частинних похідних).

$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 6 y - 4$ (кроки див. у калькулятор частинних похідних).

Визначити вираз $D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = - 16 x^{2} + 24 y^{2} - 40 y + 16.$

Оскільки $D{\left(0,0 \right)} = 16$ більше, ніж $0$, а $\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)\right)} = -4$ менше, ніж $0$, можна стверджувати, що $\left(0, 0\right)$ є відносним максимумом.

Оскільки $D{\left(0,\frac{4}{3} \right)} = \frac{16}{3}$ більше, ніж $0$, а $\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(0, \frac{4}{3}\right)\right)} = \frac{4}{3}$ більше, ніж $0$, можна стверджувати, що $\left(0, \frac{4}{3}\right)$ є відносним мінімумом.

Оскільки $D{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = -8$ менша за $0$, можна стверджувати, що $\left(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$ є сідловою точкою.

Оскільки $D{\left(\frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = -8$ менша за $0$, можна стверджувати, що $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$ є сідловою точкою.

Відносні максимуми

$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$A, $f{\left(0,0 \right)} = 2$A

Відносні мінімуми

$\left(x, y\right) = \left(0, \frac{4}{3}\right)\approx \left(0, 1.333333333333333\right)$A, $f{\left(0,\frac{4}{3} \right)} = \frac{22}{27}\approx 0.814814814814815$A

Точки сідла

$\left(x, y\right) = \left(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)\approx \left(-0.707106781186548, 1\right)$A, $f{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = 1$A

$\left(x, y\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)\approx \left(0.707106781186548, 1\right)$A, $f{\left(\frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = 1$A