Калькулятор критичних точок, екстремумів та сідлових точок

Знаходження критичних точок, екстремумів та сідлових точок функції

Калькулятор спробує знайти критичні (стаціонарні) точки, відносні (локальні) максимуми і мінімуми, а також сідлові точки багатовимірної функції з кроком, який буде показано на екрані.

Пов'язаний калькулятор: Калькулятор множників Лагранжа

Якщо калькулятор щось не розрахував або ви виявили помилку, або у вас є пропозиція/відгук, будь ласка, зв'яжіться з нами.

Ваш запит

Знайдіть і класифікуйте критичні точки f(x,y)=2x2y2x2+y32y2+2f{\left(x,y \right)} = 2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2.

Розв'язок

Перший крок – знайти всі часткові похідні першого порядку:

x(2x2y2x2+y32y2+2)=4x(y1)\frac{\partial}{\partial x} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 4 x \left(y - 1\right) (кроки див. у калькулятор частинних похідних).

y(2x2y2x2+y32y2+2)=2x2+3y24y\frac{\partial}{\partial y} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 2 x^{2} + 3 y^{2} - 4 y (кроки див. у калькулятор частинних похідних).

Далі розв'яжіть систему {fx=0fy=0\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}, або {4x(y1)=02x2+3y24y=0\begin{cases} 4 x \left(y - 1\right) = 0 \\ 2 x^{2} + 3 y^{2} - 4 y = 0 \end{cases}.

Система має такі реальні рішення: (x,y)=(0,0)\left(x, y\right) = \left(0, 0\right), (x,y)=(0,43)\left(x, y\right) = \left(0, \frac{4}{3}\right), (x,y)=(22,1)\left(x, y\right) = \left(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right), (x,y)=(22,1)\left(x, y\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right).

Тепер спробуємо їх класифікувати.

Знайдіть усі частинні похідні другого порядку:

2x2(2x2y2x2+y32y2+2)=4y4\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 4 y - 4 (кроки див. у калькулятор частинних похідних).

2yx(2x2y2x2+y32y2+2)=4x\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 4 x (кроки див. у калькулятор частинних похідних).

2y2(2x2y2x2+y32y2+2)=6y4\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right) = 6 y - 4 (кроки див. у калькулятор частинних похідних).

Визначити вираз D=2fx22fy2(2fyx)2=16x2+24y240y+16.D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = - 16 x^{2} + 24 y^{2} - 40 y + 16.

Оскільки D(0,0)=16D{\left(0,0 \right)} = 16 більше, ніж 00, а 2x2(2x2y2x2+y32y2+2)((x,y)=(0,0))=4\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)\right)} = -4 менше, ніж 00, можна стверджувати, що (0,0)\left(0, 0\right) є відносним максимумом.

Оскільки D(0,43)=163D{\left(0,\frac{4}{3} \right)} = \frac{16}{3} більше, ніж 00, а 2x2(2x2y2x2+y32y2+2)((x,y)=(0,43))=43\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(2 x^{2} y - 2 x^{2} + y^{3} - 2 y^{2} + 2\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(0, \frac{4}{3}\right)\right)} = \frac{4}{3} більше, ніж 00, можна стверджувати, що (0,43)\left(0, \frac{4}{3}\right) є відносним мінімумом.

Оскільки D(22,1)=8D{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = -8 менша за 00, можна стверджувати, що (22,1)\left(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right) є сідловою точкою.

Оскільки D(22,1)=8D{\left(\frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = -8 менша за 00, можна стверджувати, що (22,1)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right) є сідловою точкою.

Відповідь

Відносні максимуми

(x,y)=(0,0)\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)A, f(0,0)=2f{\left(0,0 \right)} = 2A

Відносні мінімуми

(x,y)=(0,43)(0,1.333333333333333)\left(x, y\right) = \left(0, \frac{4}{3}\right)\approx \left(0, 1.333333333333333\right)A, f(0,43)=22270.814814814814815f{\left(0,\frac{4}{3} \right)} = \frac{22}{27}\approx 0.814814814814815A

Точки сідла

(x,y)=(22,1)(0.707106781186548,1)\left(x, y\right) = \left(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)\approx \left(-0.707106781186548, 1\right)A, f(22,1)=1f{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = 1A

(x,y)=(22,1)(0.707106781186548,1)\left(x, y\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)\approx \left(0.707106781186548, 1\right)A, f(22,1)=1f{\left(\frac{\sqrt{2}}{2},1 \right)} = 1A