Обернений калькулятор матриць

Обчислити $\left[\begin{array}{cc}2 & 1\\1 & 3\end{array}\right]^{-1}$ за допомогою елімінації Гаусса-Йордана.

Щоб знайти обернену матрицю, доповніть її матрицею тотожності і виконайте операції над рядками, намагаючись перенести матрицю тотожності вліво. Тоді праворуч буде обернена матриця.

Отже, доповніть матрицю матрицею тотожності:

$\left[\begin{array}{cc|cc}2 & 1 & 1 & 0\\1 & 3 & 0 & 1\end{array}\right]$

Розділіть рядок $1$ на $2$: $R_{1} = \frac{R_{1}}{2}$.

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\1 & 3 & 0 & 1\end{array}\right]$

Від рядка $1$ відняти рядок $2$: $R_{2} = R_{2} - R_{1}$.

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\0 & \frac{5}{2} & - \frac{1}{2} & 1\end{array}\right]$

Помножте рядок $2$ на $\frac{2}{5}$: $R_{2} = \frac{2 R_{2}}{5}$.

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\0 & 1 & - \frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{array}\right]$

Від рядка $1$ відняти рядок $2$ помножений на $\frac{1}{2}$: $R_{1} = R_{1} - \frac{R_{2}}{2}$.

$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & \frac{3}{5} & - \frac{1}{5}\\0 & 1 & - \frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{array}\right]$

Ми закінчили. Зліва – матриця тотожності. Праворуч – обернена матриця.

Обернена матриця має вигляд $\left[\begin{array}{cc}\frac{3}{5} & - \frac{1}{5}\\- \frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0.6 & -0.2\\-0.2 & 0.4\end{array}\right].$A