Похідна від $\ln\left(x + 1\right)$

Калькулятор знайде похідну від

\ln\left(x + 1\right)

, з показаними кроками.

Пов'язаний калькулятор: Калькулятор похідних

Розв'язок

Функція $\ln\left(x + 1\right)$ є композицією $f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$ двох функцій $f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$ та $g{\left(x \right)} = x + 1$ .

Застосуйте правило ланцюжка $\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$ :

{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x + 1\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(x + 1\right)\right)}

Похідна натурального логарифма – це $\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$ :

{\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(x + 1\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(x + 1\right)

Повернутися до старої змінної:

\frac{\frac{d}{dx} \left(x + 1\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(x + 1\right)}{{\color{red}\left(x + 1\right)}}

Похідна суми/різниці є сумою/різницею похідних:

\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x + 1\right)\right)}}{x + 1} = \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) + \frac{d}{dx} \left(1\right)\right)}}{x + 1}

Похідна від константи – це $0$ :

\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(x\right)}{x + 1} = \frac{{\color{red}\left(0\right)} + \frac{d}{dx} \left(x\right)}{x + 1}

Застосуйте степеневе правило $\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$ з $n = 1$ , іншими словами, $\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$ :

\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}}{x + 1} = \frac{{\color{red}\left(1\right)}}{x + 1}

Так, $\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x + 1\right)\right) = \frac{1}{x + 1}$ .

Відповідь

$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x + 1\right)\right) = \frac{1}{x + 1}$ A

Похідна від ln⁡(x+1)\ln\left(x + 1\right)ln(x+1)

Розв'язок

Відповідь

Похідна від $\ln\left(x + 1\right)$