Похідна від $x^{x}$

Калькулятор знайде похідну від

x^{x}

, з показаними кроками.

Пов'язаний калькулятор: Калькулятор похідних

Розв'язок

Використовуйте формулу $f^{g{\left(x \right)}}{\left(x \right)} = e^{g{\left(x \right)} \ln\left(f{\left(x \right)}\right)}$ з $f{\left(x \right)} = x$ та $g{\left(x \right)} = x$ , щоб переписати складний вираз:

{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{x}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e^{x \ln\left(x\right)}\right)\right)}

Функція $e^{x \ln\left(x\right)}$ є композицією $f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$ двох функцій $f{\left(u \right)} = e^{u}$ та $g{\left(x \right)} = x \ln\left(x\right)$ .

Застосуйте правило ланцюжка $\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$ :

{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e^{x \ln\left(x\right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dx} \left(x \ln\left(x\right)\right)\right)}

Похідна експоненти має вигляд $\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$ :

{\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(x \ln\left(x\right)\right) = {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(x \ln\left(x\right)\right)

Повернутися до старої змінної:

e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dx} \left(x \ln\left(x\right)\right) = e^{{\color{red}\left(x \ln\left(x\right)\right)}} \frac{d}{dx} \left(x \ln\left(x\right)\right) = x^{x} \frac{d}{dx} \left(x \ln\left(x\right)\right)

Застосуйте правило продукту $\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$ до $f{\left(x \right)} = x$ та $g{\left(x \right)} = \ln\left(x\right)$ :

x^{x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x \ln\left(x\right)\right)\right)} = x^{x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) \ln\left(x\right) + x \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)}

Похідна натурального логарифма – це $\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}$ :

x^{x} \left(x {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)} + \ln\left(x\right) \frac{d}{dx} \left(x\right)\right) = x^{x} \left(x {\color{red}\left(\frac{1}{x}\right)} + \ln\left(x\right) \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)

Застосуйте степеневе правило $\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$ з $n = 1$ , іншими словами, $\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$ :

x^{x} \left(\ln\left(x\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + 1\right) = x^{x} \left(\ln\left(x\right) {\color{red}\left(1\right)} + 1\right)

Так, $\frac{d}{dx} \left(x^{x}\right) = x^{x} \left(\ln\left(x\right) + 1\right)$ .

Відповідь

$\frac{d}{dx} \left(x^{x}\right) = x^{x} \left(\ln\left(x\right) + 1\right)$ A

Похідна від xxx^{x}xx

Розв'язок

Відповідь

Похідна від $x^{x}$