Похідна від $e^{a x}$ щодо $x$

Калькулятор знайде похідну

e^{a x}

по відношенню до

x

, з показаними кроками.

Пов'язаний калькулятор: Калькулятор похідних

Розв'язок

Функція $e^{a x}$ є композицією $f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$ двох функцій $f{\left(u \right)} = e^{u}$ та $g{\left(x \right)} = a x$ .

Застосуйте правило ланцюжка $\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$ :

{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e^{a x}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dx} \left(a x\right)\right)}

Похідна експоненти має вигляд $\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$ :

{\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(a x\right) = {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(a x\right)

Повернутися до старої змінної:

e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dx} \left(a x\right) = e^{{\color{red}\left(a x\right)}} \frac{d}{dx} \left(a x\right)

Застосуйте правило постійного множення $\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$ до $c = a$ та $f{\left(x \right)} = x$ :

e^{a x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(a x\right)\right)} = e^{a x} {\color{red}\left(a \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}

Застосуйте степеневе правило $\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$ з $n = 1$ , іншими словами, $\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$ :

a e^{a x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = a e^{a x} {\color{red}\left(1\right)}

Так, $\frac{d}{dx} \left(e^{a x}\right) = a e^{a x}$ .

Відповідь

$\frac{d}{dx} \left(e^{a x}\right) = a e^{a x}$ A

Похідна від eaxe^{a x}eax щодо xxx

Розв'язок

Відповідь

Похідна від $e^{a x}$ щодо $x$