Krümmung der r(x)=x,x2,0\mathbf{\vec{r}\left(x\right)} = \left\langle x, x^{2}, 0\right\rangle

Der Rechner ermittelt die Krümmung von r(x)=x,x2,0\mathbf{\vec{r}\left(x\right)} = \left\langle x, x^{2}, 0\right\rangle, wobei die Schritte angezeigt werden.

Verwandte Rechner: Binormalvektor-Rechner für Einheiten, Torsions-Rechner

\langle
,
,
\rangle
Wenn Sie eine explizite Funktion y=f(x)y = f{\left(x \right)} haben, geben Sie sie als xx, f(x)f{\left(x \right)}, 00 ein. Die Krümmung von y=x2y = x^{2} finden Sie zum Beispiel hier.
Lassen Sie sie leer, wenn Sie die Krümmung an einem bestimmten Punkt nicht benötigen.

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Finden Sie die Krümmung von r(x)=x,x2,0\mathbf{\vec{r}\left(x\right)} = \left\langle x, x^{2}, 0\right\rangle.

Lösung

Ermitteln Sie die Ableitung von r(x)\mathbf{\vec{r}\left(x\right)}: r(x)=1,2x,0\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)} = \left\langle 1, 2 x, 0\right\rangle (für Schritte siehe Ableitungsrechner).

Ermitteln Sie den Betrag von r(x)\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}: r(x)=4x2+1\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\right\rvert} = \sqrt{4 x^{2} + 1} (für Schritte siehe Betragsrechner).

Ermitteln Sie die Ableitung von r(x)\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}: r(x)=0,2,0\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(x\right)} = \left\langle 0, 2, 0\right\rangle (für Schritte siehe Ableitungsrechner).

Ermitteln Sie das Kreuzprodukt: r(x)×r(x)=0,0,2\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(x\right)} = \left\langle 0, 0, 2\right\rangle (Schritte siehe Kreuzprodukt-Rechner).

Ermitteln Sie den Betrag von r(x)×r(x)\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(x\right)}: r(x)×r(x)=2\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(x\right)}\right\rvert} = 2 (für Schritte siehe Betragsrechner).

Schließlich ist die Krümmung κ(x)=r(x)×r(x)r(x)3=2(4x2+1)32.\kappa\left(x\right) = \frac{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(x\right)}\right\rvert}}{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\right\rvert}^{3}} = \frac{2}{\left(4 x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}.

Antwort

Die Krümmung ist κ(x)=2(4x2+1)32\kappa\left(x\right) = \frac{2}{\left(4 x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}A.