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Krümmung der r⃗(x)=⟨x,x2,0⟩\mathbf{\vec{r}\left(x\right)} = \left\langle x, x^{2}, 0\right\rangle

Der Rechner ermittelt die Krümmung von r⃗(x)=⟨x,x2,0⟩\mathbf{\vec{r}\left(x\right)} = \left\langle x, x^{2}, 0\right\rangle, wobei die Schritte angezeigt werden.

Verwandte Rechner: Binormalvektor-Rechner für Einheiten, Torsions-Rechner

⟨\langle
,
,
⟩\rangle
Wenn Sie eine explizite Funktion y=f(x)y = f{\left(x \right)} haben, geben Sie sie als xx, f(x)f{\left(x \right)}, 00 ein. Die Krümmung von y=x2y = x^{2} finden Sie zum Beispiel hier.
Lassen Sie sie leer, wenn Sie die Krümmung an einem bestimmten Punkt nicht benötigen.

Wenn der Rechner etwas nicht berechnet hat, Sie einen Fehler gefunden haben oder Sie einen Vorschlag/Feedback haben, kontaktieren Sie uns bitte.

Ihr Beitrag

Finden Sie die Krümmung von r⃗(x)=⟨x,x2,0⟩\mathbf{\vec{r}\left(x\right)} = \left\langle x, x^{2}, 0\right\rangle.

Lösung

Ermitteln Sie die Ableitung von r⃗(x)\mathbf{\vec{r}\left(x\right)}: r⃗′(x)=⟨1,2x,0⟩\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)} = \left\langle 1, 2 x, 0\right\rangle (für Schritte siehe Ableitungsrechner).

Ermitteln Sie den Betrag von r⃗′(x)\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}: ∣r⃗′(x)∣=4x2+1\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\right\rvert} = \sqrt{4 x^{2} + 1} (für Schritte siehe Betragsrechner).

Ermitteln Sie die Ableitung von r⃗′(x)\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}: r⃗′′(x)=⟨0,2,0⟩\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(x\right)} = \left\langle 0, 2, 0\right\rangle (für Schritte siehe Ableitungsrechner).

Ermitteln Sie das Kreuzprodukt: r⃗′(x)×r⃗′′(x)=⟨0,0,2⟩\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(x\right)} = \left\langle 0, 0, 2\right\rangle (Schritte siehe Kreuzprodukt-Rechner).

Ermitteln Sie den Betrag von r⃗′(x)×r⃗′′(x)\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(x\right)}: ∣r⃗′(x)×r⃗′′(x)∣=2\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(x\right)}\right\rvert} = 2 (für Schritte siehe Betragsrechner).

Schließlich ist die Krümmung κ(x)=∣r⃗′(x)×r⃗′′(x)∣∣r⃗′(x)∣3=2(4x2+1)32.\kappa\left(x\right) = \frac{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(x\right)}\right\rvert}}{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\right\rvert}^{3}} = \frac{2}{\left(4 x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}.

Antwort

Die Krümmung ist κ(x)=2(4x2+1)32\kappa\left(x\right) = \frac{2}{\left(4 x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}A.