Rechner für die Tangentialkomponente der Beschleunigung

Schrittweise Ermittlung der tangentialen Komponente der Beschleunigung

Der Rechner ermittelt die tangentiale Komponente der Beschleunigung für das Objekt, das durch die vektorielle Funktion beschrieben wird, an dem gegebenen Punkt, wobei Schritte angezeigt werden.

Verwandte Rechner: Krümmungsberechnung, Rechner für die Normalkomponente der Beschleunigung

\langle \rangle
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Ermitteln Sie die tangentiale Komponente der Beschleunigung für r(t)=t,t2,t3\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle t, t^{2}, t^{3}\right\rangle.

Lösung

Ermitteln Sie die Ableitung von r(t)\mathbf{\vec{r}\left(t\right)}: r(t)=1,2t,3t2\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle 1, 2 t, 3 t^{2}\right\rangle (für Schritte siehe Ableitungsrechner).

Ermitteln Sie den Betrag von r(t)\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}: r(t)=9t4+4t2+1\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = \sqrt{9 t^{4} + 4 t^{2} + 1} (für Schritte siehe Betragsrechner).

Ermitteln Sie die Ableitung von r(t)\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}: r(t)=0,2,6t\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 0, 2, 6 t\right\rangle (für Schritte siehe Ableitungsrechner).

Ermitteln Sie das Punktprodukt: r(t)r(t)=18t3+4t\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = 18 t^{3} + 4 t (Schritte siehe Punktprodukt-Rechner).

Die tangentiale Komponente der Beschleunigung schließlich ist aT(t)=r(t)r(t)r(t)=18t3+4t9t4+4t2+1.a_T\left(t\right) = \frac{\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}}{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert}} = \frac{18 t^{3} + 4 t}{\sqrt{9 t^{4} + 4 t^{2} + 1}}.

Antwort

Die tangentiale Komponente der Beschleunigung ist aT(t)=18t3+4t9t4+4t2+1a_T\left(t\right) = \frac{18 t^{3} + 4 t}{\sqrt{9 t^{4} + 4 t^{2} + 1}}A.