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Derivado de $$$x^{7 x}$$$

La calculadora encontrará la derivada de $$$x^{7 x}$$$ usando la diferenciación logarítmica, con los pasos que se muestran.

Calculadora relacionada: Calculadora de derivados

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Tu aportación

Encuentra $$$\frac{d}{dx} \left(x^{7 x}\right)$$$.

Solución

Sea $$$H{\left(x \right)} = x^{7 x}$$$.

Toma el logaritmo de ambos lados: $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right) = \ln\left(x^{7 x}\right)$$$.

Vuelve a escribir la RHS usando las propiedades de los logaritmos: $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right) = 7 x \ln\left(x\right)$$$.

Derive por separado ambos lados de la ecuación: $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(7 x \ln\left(x\right)\right)$$$.

Diferenciar el LHS de la ecuación.

La función $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right)$$$ es la composición $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de dos funciones $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ y $$$g{\left(x \right)} = H{\left(x \right)}$$$.

Aplicar la regla de la cadena $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)\right)}$$

La derivada del logaritmo natural es $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)$$

Vuelva a la variable anterior:

$$\frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(H{\left(x \right)}\right)}}$$

Por lo tanto, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{H{\left(x \right)}}$$$.

Derive la RHS de la ecuación.

Aplique la regla del múltiplo constante $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ con $$$c = 7$$$ y $$$f{\left(x \right)} = x \ln\left(x\right)$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(7 x \ln\left(x\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(7 \frac{d}{dx} \left(x \ln\left(x\right)\right)\right)}$$

Aplique la regla del producto $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ con $$$f{\left(x \right)} = x$$$ y $$$g{\left(x \right)} = \ln\left(x\right)$$$:

$$7 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x \ln\left(x\right)\right)\right)} = 7 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) \ln\left(x\right) + x \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)}$$

La derivada del logaritmo natural es $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$:

$$7 x {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)} + 7 \ln\left(x\right) \frac{d}{dx} \left(x\right) = 7 x {\color{red}\left(\frac{1}{x}\right)} + 7 \ln\left(x\right) \frac{d}{dx} \left(x\right)$$

Aplique la regla de potencia $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ con $$$n = 1$$$, en otras palabras, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:

$$7 \ln\left(x\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + 7 = 7 \ln\left(x\right) {\color{red}\left(1\right)} + 7$$

Por lo tanto, $$$\frac{d}{dx} \left(7 x \ln\left(x\right)\right) = 7 \ln\left(x\right) + 7$$$.

Por lo tanto, $$$\frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{H{\left(x \right)}} = 7 \ln\left(x\right) + 7$$$.

Por lo tanto, $$$\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right) = \left(7 \ln\left(x\right) + 7\right) H{\left(x \right)} = 7 x^{7 x} \left(\ln\left(x\right) + 1\right)$$$.

Respuesta

$$$\frac{d}{dx} \left(x^{7 x}\right) = 7 x^{7 x} \left(\ln\left(x\right) + 1\right)$$$A

Nota relacionada: Logarithmic Differentiation