|
Derivada de $$$x^{7 x}$$$
Calculadora relacionada: Calculadora de Derivativos
Sua entrada
Encontre $$$\frac{d}{dx} \left(x^{7 x}\right)$$$.
Solução
Seja $$$H{\left(x \right)} = x^{7 x}$$$.
Pegue o logaritmo de ambos os lados: $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right) = \ln\left(x^{7 x}\right)$$$.
Reescreva o RHS usando as propriedades dos logaritmos: $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right) = 7 x \ln\left(x\right)$$$.
Diferencie separadamente os dois lados da equação: $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(7 x \ln\left(x\right)\right)$$$.
Diferencie o LHS da equação.
A função $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right)$$$ é a composição $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de duas funções $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ e $$$g{\left(x \right)} = H{\left(x \right)}$$$.
Aplique a regra da cadeia $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)\right)}$$A derivada do logaritmo natural é $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)$$Volte para a variável antiga:
$$\frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(H{\left(x \right)}\right)}}$$Assim, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{H{\left(x \right)}}$$$.
Diferencie o RHS da equação.
Aplique a regra múltipla constante $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ com $$$c = 7$$$ e $$$f{\left(x \right)} = x \ln\left(x\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(7 x \ln\left(x\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(7 \frac{d}{dx} \left(x \ln\left(x\right)\right)\right)}$$Aplique a regra do produto $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ com $$$f{\left(x \right)} = x$$$ e $$$g{\left(x \right)} = \ln\left(x\right)$$$:
$$7 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x \ln\left(x\right)\right)\right)} = 7 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) \ln\left(x\right) + x \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)}$$Aplique a regra de potência $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ com $$$n = 1$$$, ou seja, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$7 x \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) + 7 \ln\left(x\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = 7 x \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) + 7 \ln\left(x\right) {\color{red}\left(1\right)}$$A derivada do logaritmo natural é $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$:
$$7 x {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)} + 7 \ln\left(x\right) = 7 x {\color{red}\left(\frac{1}{x}\right)} + 7 \ln\left(x\right)$$Assim, $$$\frac{d}{dx} \left(7 x \ln\left(x\right)\right) = 7 \ln\left(x\right) + 7$$$.
Portanto, $$$\frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{H{\left(x \right)}} = 7 \ln\left(x\right) + 7$$$.
Portanto, $$$\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right) = \left(7 \ln\left(x\right) + 7\right) H{\left(x \right)} = 7 x^{7 x} \left(\ln\left(x\right) + 1\right)$$$.
Responder
$$$\frac{d}{dx} \left(x^{7 x}\right) = 7 x^{7 x} \left(\ln\left(x\right) + 1\right)$$$A